我們已在之前的課堂中學了如何解一元二次方程。在這一課中，我們將會討論把一些其他方程變換為二次方程並求解的方法。
無論要解的方程是甚麼形式，我們都應先把方程兩邊化簡，再決定用甚麼方法來解方程。有時候，在化簡之後我們會得到一條二次方程，這時我們便能以解二次方程的方法來解這些方程。
先把方程中的分式放到同一邊化簡，我們有
\begin{align*} \left( 1+\frac{2}{x} \right)(x-1) &= 2 \\ \left( 1+\frac{2}{x} \right)(x-1) - 2 &= 0 \\ \frac{(x+2)}{x}(x-1)-2 &= 0 \\ \frac{(x+2)(x-1)-2x}{x} &= 0 \\ \frac{x^2-x-2}{x} &= 0 \end{align*}在分母不為零的情況下，一個分數等於零即是其分子等於零。所以，當\(\;x\neq 0\;\)時，我們有\(\;x^2-x-2 = 0\)。這是一條二次方程：
\begin{align*} x^2-x-2 &= 0 \\ (x-2)(x+1) &= 0 \\ x=2 \hbox{ 或 } -1 \end{align*}即方程的解為\(\;x=2\;\)或\(x=-1\)。
先觀察到全式分母的最大公倍式為\(\;x\)。由於分母不能是零，我們可以把全式乘以\(\;x\;\)以消去所有母，藉此化簡方程。
\begin{align*} \left( 1+\frac{2}{x} \right)(x-1) &= 2 \\ (x+2)(x-1) &= 2x \\ (x^2+x-2)-2x &= 0 \\ x^2-x-2 &= 0 \\ x=2 \hbox{ 或 } -1 \end{align*}根式方程是指含有根號的方程。在課程中，我們只會討論含有平方根的方程，而不會考慮含有立方根或更高次根號的方程。
例子二：解以下方程
我們有
\begin{align*} 2x - 5\sqrt{x} - 3 &= 0 \\ 5\sqrt{x} &= 2x - 3 \end{align*}把兩邊取平方，得
\begin{align*} (5\sqrt{x})^2 &= (2x-3)^2 \\ 25x &= 4x^2-12x+9 \\ 4x^2-37x+9 &= 0 \\ (4x-1)(x-9) &= 0 \\ x&=\frac{1}{4} \hbox{ 或 } 9 \end{align*}由於我們在解方程的過程中曾經取平方，所以必須驗算。
驗算：當\(\;\displaystyle x=\frac{1}{4}\)，我們有
\[ 2(\frac{1}{4}) - 5\sqrt{\frac{1}{4}} - 3 = \frac{1}{2} - 5(\frac{1}{2}) - 3 = -5 \neq 0 \]所以\(\;\displaystyle x=\frac{1}{4}\;\)不是方程的解；當\(\;x=9\)，我們有
\[ 2(9) - 5(\sqrt{9}) - 3 = 18-5(3)-3 = 0 \]所以，方程的解為\(\;x=9\)。
注意 這方程也能以代入法求解。我們將會在下一節討論這種方法。
驗算：當\(\;\displaystyle x=3\)，我們有
\[ \sqrt{2(3)+3} - \sqrt{3-2} = 3-1 = 2 \]當\(\;x=11\)，我們有
\[ \sqrt{2(11)+3} - \sqrt{11-2} = 5-3 = 2 \]所以，方程的解為\(\;x=3, 11\)。
把方程兩邊取指數\(\;2^x\)，得
\begin{align*} \frac{x^2-3}{x} &= 2^1 \\ x^2-3 &= 2x \\ x^2-2x-3 &= 0 \\ (x-3)(x+1) &= 0 \\ x&=3 \hbox{ 或 } -1 \end{align*}從驗算得知，當\(\;x=-1\;\)時，\(\log_2(x^2-3) = \log_2((-1)^2-3) = \log_2(-2)\;\)和\(\;\log_2{x}=\log_2(-1)\;\)都沒有定義，所以要捨去此解。故此，方程的解為\(\;x=3\)。
根據指數與對數的關係，從
\begin{align*} \log_{2x+1}{9} &= 2 \end{align*}可得
\begin{align*} (2x+1)^2 &= 9 \\ 4x^2 + 4x - 8 &= 0 \\ 4(x-1)(x+2) &= 0 \\ x&=1 \hbox{ 或 } -2 \end{align*}從驗算得知，當\(\;x=-2\;\)時，方程中對數的底是\(\;-3 \lt 0\)，所以要捨去此解。故此，方程的解為\(\;x=1\)。
考慮方程\(\;\displaystyle \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} + \frac{2x}{x^2-1} = 2 \)。
要使用甚麼方法解方程？
把所有項放到同一邊再化至最簡，可得（分子和分母首項均需為正數，不要約簡）
分子為 \(\;x^2+\phantom{}\) \(\;x+\phantom{}\) 。
分母為 \(\;x^2+\phantom{}\) \(\;x+\phantom{}\) 。
由於分式方程的分母不可以是零，所以\(\;x\neq 1\)。我們可以把公因式\(\;x-1\;\)約掉，以化簡方程。
你可以重新回答第 1. 題，選擇另一個方法試試。
運用交叉相乘，再化至最簡，所得的二次方程是（二次式的首項需為正數）：
\(\;x^2+\phantom{}\) \(\;x+\phantom{}\) \(\phantom{}=0\)。
這條二次方程的根為（請先填上較小的根）
\(\;x=\phantom{}\) 或 。
解分式方程後（尤其是我們曾使用交叉相乘的話），我們必須驗算以確保所得的答案合理。在此題中，\(x=1\;\)會令分式方程的分母為零，因此要捨去這個解。
你可以重新回答第 1. 題，選擇另一個方法試試。