在上一課，我們學會了有理函數的四則運算。在這一課中，我們將進一步討論如何把這些運算結合起來，進行綜合運算。讓我們看看一些例子。
例子一：化簡\(\;\displaystyle \frac{1}{x-1}-\frac{4x^2-1}{x^2-x}\times\frac{2x-1}{2x+1}\)。
注意先乘除後加減，所以這題中我們要先做乘法。
\begin{align*} \frac{1}{x-1}-\frac{4x^2-1}{x^2-x}\times\frac{2x-1}{2x+1} &= \frac{1}{x}-\frac{(2x-1)(2x+1)}{x(x-1)}\times\frac{2x-1}{2x+1} \\ &= \frac{1}{x-1}-\frac{(2x-1)^2}{x(x-1)} \end{align*}然後再做減法。
例子二：化簡\(\;\displaystyle \left(\frac{1}{x^2-1}+\frac{1}{x^2-2x+1}\right)\div\frac{x}{x^2+2x+1}\)。
例子三（求恆等式中的未知數）：設\(\displaystyle \frac{3x-1}{(x-3)(x+1)} \equiv \frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+1}\)，求\(\;A\;\)和\(\;B\;\)的值。
我們先計算右面的加法。
\begin{align*} {\rm RHS} &= \frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+1} \\ &= \frac{A(x+1)+B(x-3)}{(x-3)(x+1)} \\ &= \frac{(A+B)x+(A-3B)}{(x-3)(x+1)} \end{align*}將上面的計算結果和恆等式的左面比較，可得
\[\displaystyle \frac{3x-1}{(x-3)(x+1)} \equiv \frac{(A+B)x+(A-3B)}{(x-3)(x+1)}\]即
\begin{cases} A+B &= 3 \\ A-3B &= -1 \end{cases}首先兩式相減，得\(\;4B=4\)，即\(\;B=1\)。將\(\;B=1\)代入第一條式中，得\(\;A+1=3\)，所以\(\;A=2\)，即\(\;A=2, B=1\)。
試完成下列各題。
若\(\;\displaystyle \frac{7}{(2x-1)(x+3)}\equiv\frac{A}{2x-1}+\frac{B}{x+3}\)，則
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\(A=\;\) |
\(B=\;\) |
若\(\;\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2-1}\equiv A+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}\)，則
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\(A=\;\) |
\(B=\;\) |
\(C=\;\) |
若\(\;\displaystyle \frac{6x-3}{(x-2)(x+1)^2}\equiv\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}\)，則
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\(A=\;\) |
\(B=\;\) |
\(C=\;\) |
若\(\;\displaystyle \frac{4x^2-x+3}{(x-1)(x^2+1)}\equiv\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}\)，則
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\(A=\;\) |
\(B=\;\) |
\(C=\;\) |
這個活動中的恆等式，其實就是有理函數的部分分式分解。這種分解可以用來求有理函數的積分，我們將會在積分的部分再詳細介紹部分分式分解。
