在前面的課件，我們學習了兩個非互斥事件的加法法則。同學可以點擊互動素材來重溫一下。
然後，透過對乘法法則的重複應用，我們學習了階乘，並推而廣之至考慮次序的排列。
現在就讓我們回歸基本，運用組合的知識推廣加法法則至多個非互斥事件，也稱排容原理。
學習排容原理的動機在於：給需要點算的東西\(\;n\;\)項指標，則滿足任意一項指標的東西數目\(\;N\;\)可以透過點算滿足特定指標的東西來計算。方法如下：
\begin{align*} N= &\mbox{滿足某一特定指標的東西}-\mbox{滿足某兩特定指標的東西}\\ &+\mbox{滿足某三特定指標的東西}-\mbox{滿足某四特定指標的東西}+\dots \end{align*}
一般來說，滿足單數項特定指標的點算是要加上的，滿足偶數項特定指標的點算是要減去的，等式結束於點算滿足全部\(\;n\;\)項指標的東西。對於\(\;1 \leq i \leq n\)，我們就需要到窮舉在\(\;n\;\)項指標選擇\(\;i\)項特定指標的所有可能，其實對應\(\;C^n_i\;\)個細項。
我們證明排容原理的關鍵需要應用剛剛學到的組合的特性之一：
對於任何正整數\(\;m>1\)， \begin{align*} C^m_0+(-1)C^m_1+\cdots+(-1)^{m-1}C^m_{m-1}+(-1)^mC^m_m=0。 \end{align*}
以下我們會以兩個典型的例子體驗排容原理，然後再在一般的理論解釋原理何以成立。
某班新成立了三個學會，已知橋牌會有\(\;12\;\)人，圍棋會有\(\;12\;\)人，太極會有\(\;13\;\)人。其中同時參加橋牌會和圍棋會的有\(\;3\;\)人；同時參加橋牌會和太極會的有\(\;4\;\)人；同時參加圍棋會和太極會的有\(\;5\;\)人；同時參加全部三個學會的有\(\;2\;\)人。
請問班中有多少人參與了新成立的學會？
設\(\;N\;\)為班中參與了新成立學會的人數。設指標\(\;1\;\)為參加橋牌會；指標\(\;2\;\)為參加圍棋會；指標\(\;3\;\)為參加太極會。
滿足指標\(\;1\;\)有\(\;12\;\)人，滿足指標\(\;2\;\)有\(\;12\;\)人，滿足指標\(\;3\;\)有\(\;13\;\)人。
其中同時滿足指標\(\;1\;\)和\(\;2\;\)會的有\(\;3\;\)人；同時滿足指標\(\;1\;\)和指標\(\;3\;\)的有\(\;4\;\)人；同時滿足指標\(\;2\;\)和指標\(\;3\;\)的有\(\;5\;\)人；
同時滿足全部三項指標的有\(\;2\;\)人。
根據排容原理，參與了新成立學會的人數是
\[N=(12+12+13)-(3+4+5)+(2)=27。\]
不大於\(\;1000\;\)的正整數中，有多少個可以被\(\;2\)、\(3\)、\(5\;\)或\(\;7\;\)整除？
設\(\;N\;\)為不大於\(\;1000\;\)的正整數中能被\(\;2\)、\(3\)、\(5\;\)或\(\;7\;\)整除的正整數數目。
對於不大於\(\;1000\;\)的正整數，設指標\(\;1\;\)為被\(\;2\;\)整除；指標\(\;2\;\)為被\(\;3\;\)整除；指標\(\;3\;\)為被\(\;5\;\)整除；指標\(\;4\;\)為被\(\;7\;\)整除。
滿足指標\(\;1\;\)有\(\;500\;\)個，滿足指標\(\;2\;\)有\(\;333\;\)個，滿足指標\(\;3\;\)有\(\;200\;\)個，滿足指標\(\;4\;\)有\(\;142\;\)個。
其中同時滿足指標\(\;1\;\)和\(\;2\;\)的是\(\;6\;\)的倍數有\(\;166\;\)個；
同時滿足指標\(\;1\;\)和指標\(\;3\;\)的是\(\;10\;\)的倍數有\(\;100\;\)個；
同時滿足指標\(\;1\;\)和指標\(\;4\;\)的是\(\;14\;\)的倍數有\(\;71\;\)個；
同時滿足指標\(\;2\;\)和指標\(\;3\;\)的是\(\;15\;\)的倍數有\(\;66\;\)個；
同時滿足指標\(\;2\;\)和指標\(\;4\;\)的是\(\;21\;\)的倍數有\(\;47\;\)個；
同時滿足指標\(\;3\;\)和指標\(\;4\;\)的是\(\;35\;\)的倍數有\(\;28\;\)個。
同時滿足指標\(\;1\)、\(2\;\)和\(\;3\;\)的是\(\;30\;\)的倍數有\(\;33\;\)個；
同時滿足指標\(\;1\)、\(2\;\)和\(\;4\;\)的是\(\;42\;\)的倍數有\(\;23\;\)個；
同時滿足指標\(\;1\)、\(3\;\)和\(\;4\;\)的是\(\;70\;\)的倍數有\(\;14\;\)個；
同時滿足指標\(\;2\)、\(3\;\)和\(\;4\;\)的是\(\;105\;\)的倍數有\(\;9\;\)個。
同時滿足全部四項指標的是\(\;210\;\)的倍數有\(\;4\;\)個。
根據排容原理，不大於\(\;1000\;\)的正整數中可以被\(\;2\)、\(3\)、\(5\;\)或\(\;7\;\)整除的有
\begin{align*} &N\\ =&(500+333+200+142)\\ &-(166+100+71+66+47+28)\\ &+(33+23+14+9)\\ &-(4)\\ =&772\mbox{個。} \end{align*}
我們再用比較仔細的文字重申排容原理：
為需要點算的東西給予\(\;n\;\)項指標，點算滿足指標\(\;1\;\)的東西數目為\(\;N_1\)，點算滿足指標\(\;2\;\)的東西數目為\(\;N_2\)，\(\cdots\)，點算滿足指標\(\;n\;\)的東西數目為\(\;N_n\)；
對於\(\;1\leq i_1< i_2\leq n\)，點算同時滿足指標\(\;i_1\;\)和指標\(\; i_2\;\)的東西數目為\(\;N_{ i_1, i_2}\)；
\(\;\vdots\;\)
對於\(\;1\leq i_1< \cdots< i_{n-1}\leq n\)，點算同時滿足指標\(\;i_1\)、指標\(\; i_2\)、\(\cdots\)、指標\(\; i_{n-1}\;\)的東西數目為\(\;N_{ i_1, i_2,\cdots,i_{n-1}}\)；
最後，點算同時滿足所有指標的東西數目為\(\;N_{ 1, 2,\cdots,{n-1}, n}\)。
則滿足任一指標的東西數目\(\;N\;\)可以這樣計算：
\begin{align*} N= &\; (N_1+N_2+\cdots+N_n) \\ &+(-1)\times (N_{1,2}+N_{1,3}+\cdots+N_{n-1,n}) \\ &+(-1)^2 \times (N_{1,2,3}+N_{1,2,4}+\cdots+N_{n-2,n-1,n}) \\ &\vdots \\ &+(-1)^{n-1} N_{1,2, \cdots ,n}。 \end{align*}
同學也可以使用“\(\;\sum\;\)”符號寫法：
\begin{align*} N= &\sum_{1\leq i\leq n} N_i \\ &+(-1)\sum_{1\leq i_1 < i_2 \leq n} N_{i_1,i_2} \\ &+(-1)^2 \sum_{1\leq {i_1} < {i_2} < {i_3} \leq n} N_{i_1, i_2, i_3}\\ &\vdots \\ &+(-1)^{n-1} N_{1,2, \cdots ,n}。 \end{align*}
我們現在解釋原理為甚麼成立：
我們需要驗證任何滿足任一指標的東西會在等式之加加減減中，剛好被數了一次。
如果某東西剛好只滿足一項指標，顯然它在等式中開端的\(\;(N_1+N_2+\cdots+N_n)\;\)被數了一次，之後的加加減減與它無關。明顯被數了一次。
如果某東西剛好只滿足\(\;m\;\)項指標，其中\(\;1 < m\leq n\)，我們現在看下它在等式的被加了多少次又被減了多少次：
在等式中開端點算滿足某一特定指標的東西時，它被加了\(\;m=C^m_1\;\)次，
在等式中點算滿足某兩特定指標的東西時，它被減了\(\;C^m_2\;\)次，
在等式中點算滿足某兩特定指標的東西時，它再被加\(\;C^m_m\;\)次，
\(\;\vdots\;\)
直至等式中點算滿足某\(\;m\;\)特定指標的東西時，根據\(\;(-1)^{m-1}\;\)是\(\;1\;\)或\(\;-1\)，它再被加或減\(\;C^m_m=1\;\)次，然後等式後面的加加減減與它無關。
所以這東西在整條等式中被加了
\begin{align*} &C^m_1+(-1)C^m_2+(-1)^2 C^m_3+\cdots+(-1)^{m-2}C^m_{m-1}+(-1)^{m-1}C^m_m\\ =&C^m_0-\{C^m_0+(-1)C^m_1+\cdots+(-1)^{m-1}C^m_{m-1}+(-1)^mC^m_m\}\\ =&C^m_0 - 0\\ =&1\;\mbox{次，}\\ \end{align*}剛好一次！
上式的第二個等號來自組合的特性：對於任何正整數\(\;m>1\;\)
\begin{align*} C^m_0+(-1)C^m_1+\cdots+(-1)^{m-1}C^m_{m-1}+(-1)^mC^m_m=0 。 \end{align*}
驗證完畢。