假設小珙要走到離自己以東\(\;m\;\)個街口，以北\(\;n\;\)個街口，為了最快到達目的地。為了更快到達目的地，他只往東或北行走。那麼，小珙總共有多少個走法？
同學可以透過互動素材幫助思考。
\(\;\displaystyle C^{m+n}_n=\frac{(m+n)!}{m!n!}\;\)
\(\;m+n\;\)
\(\;mn\;\)
無法判斷
題解：
以→記錄小珙從一個街口向東走到另一個街口，以↑記錄小珙從一個街口向北走到另一個街口。紀錄便與路徑一一對應。
無論小珙如何走，只要他從不向西或南行，記綠長度必為\(\;m+n\)，路線中必有\(\;m\;\)個→ 和\(\;n\;\)個↑。
反之，\(m\;\)個→ 和\(\;n\;\)個↑的任何排列組合都代表一個可能路徑。
所以，所有可能路徑數目就是在長度為\(\;m+n\;\)的記錄中選取\(\;m\;\)個↑的組合數目，也就是\(\;C^{m+n}_n=\frac{(m+n)!}{m!n!}\)。
小鶯住在小珙以東\(\;8\;\)個街口，以北\(\;6\;\)個街口。
小販某甲每天都在小珙住處以東\(\;2\;\)個街口，以北\(\;5\;\)個街口賣冰糖壺盧。
一路只向東或向北走，小珙總共有多少個走法經過某甲再到小鶯家？
同學可以透過互動素材幫助思考。
\(\;C^{2+5}_2=21\;\)
\(\;C^{6+1}_1=7\;\)
\(\;C^{2+5}_2 \times C^{6+1}_1 = 147\;\)
無法判斷
題解：
根據組合的數目，由出發點到小販某甲處有路徑\(\;C^{2+5}_2=21\;\)條；由某甲處到小鶯住處有路徑\(\;C^{(8-2)+(6-5)}_{6-5} = C^{6+1}_1=7\;\)條。
根據組合數學的乘法法則，小珙直接去小鶯家路上遇到某甲的路徑有\(\;21\times 7 =147\;\)條。
請問滿足\(\;1 \leq i_1 < i_2 < i_3\leq 10\;\)的正整數組\(\;i_1, i_2, i_3\;\)有多少？
從\(\;1\;\)到\(\;10\;\)十個正整數中任意挑三個即對應一組要求的正整數。
這樣的正整數組有\(\;C^{10}_3=\frac{10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3}=120\;\)組。
甲、乙、丙、丁是四個好朋友，他們找到\(\;6\;\)塊相同的朱古力，並決定隨意分配，有些人分不到也無所謂。請問共有多少種可能的分法？
為記錄分配結果，把\(\;6\;\)塊朱古力放一行：
從左至右，先由朋友甲放他所分到的朱古力，然後放一隻杯子；
再由朋友乙放他所分到的朱古力，然後再放一隻相同的杯子；
再由朋友丙放他所分到的朱古力，然後再放一隻相同的杯子；
再由朋友丁放他所分到的朱古力。
不同的分配得出不同的效果：
對應任何分配，行中都有\(\;6\;\)塊朱古力和\(\;3\;\)隻杯子；而且分配朱古力的方法與放杯子的方法一一對應。
所以，朱古力分法的數目等於\(\;9\;\)個位置上選\(\;3\;\)個位置放杯子的組合數目\(\;=C^9_3=\frac{9!}{3!6!}=\frac{9\times 8\times 7}{1\times 2\times 3}=84\;\)種。
一般而言，對於正整數\(\;\,s,t\,\)，方程\(\;n_1+n_2+\cdots + n_t = s\;\)的非負整數解有\(\;C^{s+t-1}_{t-1}\;\)種。
多項式\(\;(1+x+x^2+\cdots+x^s)^t\;\)的展開式中\(\;x^s\;\)的係數就是\(\;C^{s+t-1}_{t-1}\)。
甲、乙、丙、丁四個好朋友這次找到\(\;10\;\)塊相同的朱古力，他們決定隨意分配，使得每人起碼有\(\;1\;\)塊朱古力。請問共有多少種可能的分法？
先給每人一塊朱古力。剩下\(\;6\;\)塊朱古力隨意分配，有些人沒再分到也無所謂。則根據例子二的解法，分法數目等於\(\;C^{(10-4)+(4-1)}_{4-1}=\frac{9!}{3!6!}=\frac{9\times 8\times 7}{1\times 2\times 3}=84\;\)種。
一般而言，對於正整數\(\;\,s>t\,\)，方程\(\;n_1+n_2+\cdots + n_t = s\;\)的正整數解有\(\;C^{s-1}_{t-1}\;\)種。
多項式\(\;(x+x^2+\cdots+x^s)^t\;\)的展開式中\(\;x^s\;\)的係數就是\(\;C^{s-1}_{t-1}\)。