小胖是個蔬果愛好者，他面前有四份蔬果：蘋果、香蕉、胡蘿蔔和榴蓮。 小胖決定把它們逐一吃完，請問共有多少種可能的吃法？
吃完全部蔬果的方法可分為\(\;4\;\)個步驟：
第\(\;1\;\)個步驟是去吃第一份蔬果，有蘋果、香蕉、胡蘿蔔和榴蓮\(\;4\;\)份選擇；
第\(\;2\;\)個步驟是去吃第二份蔬果，無論第\(\;1\;\)個步驟吃完是哪份蔬果，這時都剩下有\(\;3\;\)份蔬果可供選擇；
第\(\;3\;\)個步驟是去吃第三份蔬果，這時就剩下有\(\;2\;\)份蔬果可供選擇；
第\(\;4\;\)個步驟是去吃剩下那份蔬果，只有\(\;1\;\)個選擇；
根據乘法法則，小胖共有\(\;4 \times 3 \times 2 \times 1=4!=24\;\)種方法逐一吃完全部蔬果。
次序在排列中是重要的，次序不完全相同，也是不同的排法。一般來說，排列\(\;n\;\)個不同的物件共有\(\;n!\;\)種不同的排法。
排列\(\;n\;\)個不同的物件可分為\(\;n\;\)個步驟：
第\(\;1\;\)個步驟是挑第一個物件，有\(\;n\;\)個選擇；
第\(\;2\;\)個步驟是挑第二個物件，這時就剩下有\(\;n-1\;\)個物件可供選擇；
\(\;\vdots\;\)
第\(\;n-1\;\)個步驟是挑第\(\;n-1\;\)個物件，這時就剩下有\(\;2\;\)個物件可供選擇；
第\(\;n\;\)個步驟也是最後的步驟是挑第\(\;n\;\)個物件，這時剩下\(\;1\;\)個物件，只有\(\;1\;\)個選擇。
根據乘法法則，\(n\;\)個不同的物件共有\(\;n \times (n-1)\times \cdots \times 2 \times 1 = n!\;\)種不同的排列。
學校給小明\(\;n\;\)門功課，媽媽讓小明選擇喜歡的次序把功課一一完成。則小明共有多少種不同的選擇？
如果\(\;n>1\)，重複運用乘法法則，小明共有\(\;n\times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1=n!\;\)種不同的選擇；
如果\(\;n=1\)，小明只有一種選擇，就是把那門功課完成，選擇數目還是\(\;n!\)；
如果\(\;n=0\)，小明也只有一種選擇，就是不做功課，選擇數目還是\(\;n!=0!=1\)。
\(\;A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\;\)站成一行拍照。\(B\;\)和\(\;C\;\)要求站在一齊，這樣有多少種方法？
考慮\(\;B\;\)和\(\;C\;\)為一個單位，\(A\;\)為一個單位，\(D\;\)為一個單位；則這三個單位的排列有\(\;3!=6\;\)種。在\(\;B\;\)和\(\;C\;\)的單位中又有\(\;B\;\)在\(\;C\;\)左和\(\;C\;\)在\(\;B\;\)左\(\;2\;\)種不同的選擇。
根據乘法法則，\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\;\)站成一行，\(B\;\)和\(\;C\;\)站在一齊共有\(\;6\times 2=12\;\)種。
某班有男生六人、女生六人，在一次活動中需有把他們分成六組，每組各有一男一女。請問有多少種方法？
給六個男生編號甲、乙、丙、丁、戊、己；六個女生編號\(\;1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)、\(5\)、\(6\)。
設變量\(\;a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)、\(e\)、\(f\;\)作以下記錄：
記錄男生甲配女生\(\;a\)；
記錄男生乙配女生\(\;b\)；
記錄男生丙配女生\(\;c\)；
記錄男生丁配女生\(\;d\)；
記錄男生戊配女生\(\;e\)；
記錄男生己配女生\(\;f\)；
則\(\;\left(a,b,c,d,e,f\right)\;\)必是\(\;\left(1,2,3,4,5,6\right)\;\)的一種排列；反之，六個數字的任何排列各對應著一種分組方法。所以
\begin{align*} \mbox{分組方法}& =1,2,3,4,5,6\;\mbox{的排列數目}\\ &=6!\\ &=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1\\ &=720\mbox{種。}\\ \end{align*}
在一個\(\;8\;\)行\(\;8\;\)列的棋盤上有多少方法放\(\;8\;\)顆棋子使得每一行每一列都有一顆棋子？互動素材展示一些放棋子的方法。
由於每一行都有一顆棋子，我們可以記錄各行棋子在那一列：
設變量\(\;a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)、\(e\)、\(f\)、\(g\)、\(h\;\)，並作以下記錄：
記錄第\(\;1\;\)行的棋子在第\(\;a\;\)列；
記錄第\(\;2\;\)行的棋子在第\(\;b\;\)列；
\(\;\vdots\;\)
記錄第\(\;8\;\)行的棋子在第\(\;h\;\)列；
由於每一列都一顆棋子，\(\left(a,b,c,d,e,f,g,h\right)\;\)必是\(\;\left(1,2,3,4,5,6,7,8\right)\;\)的一種排列；反之，八個數字的任何排列各對應著一種放棋子的方法。所以
\begin{align*} \mbox{放棋子的方法}& =1,2,3,4,5,6,7,8 \mbox{的排列數目}\\ &=8!\\ &=8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1\\ &=40320\mbox{種。}\\ \end{align*}