在處理點算的問題中，我們經常會遇到諸如\(\;4\times 3\times 2\times 1\;\)之類的正整數連乘式。為了方便書寫，我們有時會用\(\;4!\;\)表示從\(\;1\;\)到\(\;4\;\)的所有正整數的乘積。這種記法稱為階乘。\(n!\;\)讀作\(\;n\;\)階乘。
階乘的符號是\(\;!\)，我們定義階乘\(\;0!=1!=1\)；
對於大於\(\;1\;\)的整數\(\;n\)，我們定義階乘 \[{n!=n\times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1}\color{black}{。}\]
\(n!\;\)這個看似抽象的符號其實正代表\(\;n\;\)個物件個進行排列的方法的數目，同學可以在這一頁找到一些實際的例子。
對於任何正整數\(\;n\)，顯然有\[{(n+1)!=(n+1)\times n!}\color{black}{。}\]
求\(\;5!-4!\;\)的值。
解法一
\begin{align*} &5!-4!\\ = &5\times 4\times 3\times 2\times 1 - 4\times 3\times 2\times 1\\ = &120 - 24\\ = &96。 \end{align*}
解法二
\begin{align*} &5!-4!\\ = &5\times 4! - 4!\\ = &(5-1)\times 4!\\ = &4 \times 4\times 3\times 2\times 1\\ = &96。 \end{align*}
試以階乘記法表示\(\;12\times 11 \times 10\times 9\times 8 \)。
\begin{align*} &12\times 11 \times 10\times 9\times 8 \\ = &\frac{12\times 11 \times 10\times 9\times 8 \times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}\\ = &\frac{12!}{7!}。 \end{align*}
求\(\;\displaystyle{\frac{7!}{4!3!}}\;\)的值。
\begin{align*} &\frac{7!}{4!3!} \\ = &\frac{7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{(4\times 3\times 2\times 1)\times (3\times 2\times 1)}\\ = &\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}\\ = &35。 \end{align*}