小良是個書迷，他讀書一定要讀完一本再讀另一本。 爸爸送了四本書給他：西遊記、紅樓夢、水滸傳及三國演義。 他在這個假期中，只有時間讀兩本，請問共有多少種不同的讀法？
讀兩本書的方法可分為\(\;2\;\)個步驟：
第\(\;1\;\)個步驟是去讀第一本書，有西遊記、紅樓夢、水滸傳及三國演義\(\;4\;\)個選擇；
第\(\;2\;\)個步驟是去讀第二本書，無論第\(\;1\;\)個步驟讀完是哪本書，這時都剩下有\(\;3\;\)個本書可供選擇；
根據乘法法則，小良共有\(\;4 \times 3=12\;\)種方法讀兩本書。
按照一定的次序編排物件，我們稱之為排列。
一般來說，\(n\;\)個相異物件選取\(\;r\;\)個物件的排列數目是\(\;P^n_r=\frac{n!}{(n-r)!}\)。
排列\(\;n\;\)個不同的物件可分為\(\;r\;\)個步驟：
第\(\;1\;\)個步驟是挑第一個物件，有\(\;n\;\)個選擇；
第\(\;2\;\)個步驟是挑第二個物件，這時就剩下有\(\;n-1\;\)個物件可供選擇；
\(\;\vdots\;\)
第\(\;r-1\;\)個步驟是挑第\(\;r-1\;\)個物件，這時就剩下有\(\;n-r+2\;\)個物件可供選擇；
第\(\;r\;\)個步驟也是最後的步驟是挑第\(\;r\;\)個物件，這時就剩下有\(\;n-r+1\;\)個物件可供選擇。
根據乘法法則，\(n\;\)個不同的物件共有\(\;n \times (n-1)\times \cdots \times (n-r+2) \times (n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!} = P^n_r\;\)種不同的排列。
從\(\;A\;\)至\(\;J\;\)十個字母中抽出四個進行排列，共有多少種不同的結果？
用七個數字\(\;1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)、\(5\)、\(6\)、\(7\)，可拼成多少個四位奇數，其中每個數字出現不多於一次？
四位奇數的個位數有\(\;4\;\)個選擇(\(\;1\)、\(3\)、\(5\)、\(7\;\))；剩下三個位數的數字對應剩下\(\;6\;\)個數字挑\(\;3\;\)個的排列\(\;=P^6_3=120\)。
根據乘法法則，已給的七個數字可拼成\(\;4\times 120 = 480\;\)個四位奇數。
在一個舞會中有男生五人、女生七人，他們最多能挑出\(\;5\;\)對男女組合共舞。請問組成\(\;5\;\)對男女組合的方法有多少種？
給五個男生編號甲、乙、丙、丁、戊；七個女生編號\(\;1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)、\(5\)、\(6\)、\(7\)。
設變量\(\;a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)、\(e\;\)作以下記錄：
記錄男生甲配女生\(\;a\)；
記錄男生乙配女生\(\;b\)；
記錄男生丙配女生\(\;c\)；
記錄男生丁配女生\(\;d\)；
記錄男生戊配女生\(\;e\)；
則‘\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)、\(e\)’必是‘\(1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)、\(5\)、\(6\)、\(7\)’挑五個的一種排列；反之，任意挑五個的排列又對應著一種男女共舞的方法。所以
\begin{align*} \mbox{分組方法}& =\mbox{1、2、3、4、5、6、7挑五個作排列的數目}\\ &=P^7_5\\ &=7\times 6\times 5\times 4\times 3\\ &=2520\mbox{種。}\\ \end{align*}
同學們決定在女生七人中先標籤五人(你可以在互動素材中先標籤被挑中的女生)，再讓她們和五個男生配對。請問這樣組成\(\;5\;\)對男女組合的方法數目有變嗎？那麼女生七人中標籤五人又有多少種做法？
沒有變。
記錄標籤五人的做法數目為\(\;x\)，把這五人和五個男生配對的方法有\(\;5!=120\;\)種。根據乘法法則，組成\(\;5\;\)對男女共有\(\;120x\;\)種。
透過這兩種數法，我們得到方程：
\[120x=2520\Rightarrow x=21。\]
在一個\(\;10\;\)行\(\;6\;\)列的棋盤上有多少方法放\(\;6\;\)顆棋子使得每一行每一列上都不多於一顆棋子？互動素材展示一些放棋子的方法。
由於每一列都不多於一顆棋子，\(6\;\)顆棋子有一顆棋子分佈在\(\;6\;\)列必為每列\(\;1\;\)顆。
我們記錄各列棋子在那一行：
設變量\(\;a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)、\(e\)、\(f\;\)作以下記錄：
記錄第\(\;1\;\)列的棋子在第\(\;a\;\)行；
記錄第\(\;2\;\)列的棋子在第\(\;b\;\)行；
\(\;\vdots\;\)
記錄第\(\;6\;\)列的棋子在第\(\;f\;\)行；
由於每一行都不多於一顆棋子，\(a,b,c,d,e,f\;\)中沒有兩個數字是一樣的，則其必為\(\;1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\;\)挑六個的一種排列；反之，任意挑六個的排列又對應著一種放棋子的方法。所以
\begin{align*} \mbox{放棋子的方法}& =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \mbox{挑六個作排列的數目}\\ &=P^{10}_6\\ &=10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\\ &=151200\mbox{種。}\\ \end{align*}
每一行上都不多於一顆棋子，\(6\;\)顆棋子必分佈在某\(\;6\;\)行上。棋手決定在\(\;10\;\)行中先標籤\(\;6\;\)行(你可以在互動素材中先標籤\(\;6\;\)行)，再放棋子在這\(\;6\;\)行使得每一列上都不多於一顆棋子。請問這樣放棋子的方法數目有變嗎？那麼在\(\;10\;\)行中先標籤\(\;6\;\)行又有多少種做法？
沒有變。
記錄標籤\(\;6\;\)行的做法數目為\(\;y\)，把\(\;6\;\)顆棋子放在這\(\;6\;\)行上使得每列都有一顆棋子的方法有\(\;6!=720\;\)種。根據乘法法則，按要求在棋盤上放棋子的方法\(\;720y\;\)種。
透過這兩種數法，我們得到方程：
\[720y=151200\Rightarrow y=210。\]