[興倫智能課堂] 排列

第一節排列的概念與記法

排列的定義和符號

在處理點算的問題中，我們也會遇到諸如\(\;10\times 9\times 8\times 7\;\)之類的正整數連乘式。為了方便書寫，我們可以用\(\;P^{10}_4\;\)表示從\(\;10\;\)遞降\(\;4\;\)個正整數的乘積。這種記法中的\(\;P\;\)代表連乘式於排列 (Permutation) 的計算有關。

一般來說，對於正整數\(\;n\geq r\)，\(P^n_r=n\times (n-1)\times \cdots \times (n-r+1)\;\)表示從\(\;n\;\)以降\(\;r\;\)個正整數的乘積。而對於\(\;r=0\)，我們則定義\(\;P^n_r=\)\({P^n_0=1}\)。

從這個角度看\(\;P\;\)的符號是對階乘的的推廣。注意當\(\;r=n\;\)時，\({P^n_n=n!}\)。而且，我們不難證明

\[{P^n_r=\frac{n!}{(n-r)!}}\color{black}{。}\]

\begin{align*} P^n_r &= n\times (n-1)\times \cdots \times (n-r+1)\\ &= \frac{n\times (n-1)\times \cdots \times \times 2 \times 1}{(n-r)\times (n-r-1)\times \cdots \times \times 2 \times 1}\\ &= \frac{n!}{(n-r)!}。 \end{align*}

\(P^n_r\;\)這個看似莫名其妙的定義其實正是從\(\;n\;\)個物件抽出\(\;r\;\)個進行排列的方法的數目，同學可以在這一頁可以找到一些實際的例子。

排列的特性

對於正整數\(\;n\)，整數\(\; r \leq n\)，從公式\(\;P^n_r=\frac{n!}{(n-r)!}\;\)我們可以推導：

\(\;\displaystyle{P^{n+1}_{r+1}=(n+1)\times P^{n}_{r}}\;\)
當\(\;n≥r+1\)，\(\displaystyle{P^{n}_{r+1}=(n-r)\times P^{n}_{r}}\;\)
\(\;\displaystyle{P^{n+1}_r=\frac{n+1}{n-r+1}\times P^{n}_{r}}\;\)
如果\(\;\displaystyle{P^{n}_{r}=P^{n}_{n-r}}\)，那麼\(\;\displaystyle{ n=2r \mbox{ 或 } n=1}\;\)

\(\;\displaystyle{P^{n+1}_{r+1}=\frac{(n+1)!}{n+1-(r+1)!}=\frac{(n+1)\times n!}{(n-r)!}=(n+1)\times\frac{n!}{(n-r)!}=(n+1)\times P^{n}_{r}}\;\)
當\(\;n≥r+1\)，\(\displaystyle{P^{n}_{r+1}=\frac{n!}{(n-r-1)!}=(n-r)\times\frac{n!}{(n-r)\times(n-r-1)!}=(n-r)\times P^{n}_{r}}\;\)
\(\;\displaystyle{P^{n+1}_r=\frac{(n+1)!}{(n-r+1)!}=\frac{(n+1)\times n!}{(n-r+1)\times(n-r)!}=\frac{n+1}{n-r+1}\times P^{n}_{r}}\;\)
\(\;\displaystyle{P^{n}_{r}=P^{n}_{n-r}\Rightarrow r!=(n-r)! \Rightarrow n=2r \mbox{ 或 } n=1}\;\)

例子

例子一：

求\(\;P^5_4\;\)的值。

\begin{align*} &P^5_4\\ = &5\times 4\times 3\times 2\\ = &120。 \end{align*}

例子二：

求\(\;P^5_2+P^5_1+P^5_0\;\)的值。

\begin{align*} &P^5_2+P^5_1+P^5_0 \\ = &5\times4 +5+1 \\ = &26。 \end{align*}