在上一課中，我們學習了如何利用餘式定理來求多項式\(\;f(x)\;\)除以\(\;g(x)=mx-n\;\)時的餘數，當餘數是\(\;0\;\)時，我們便知道\(\;g(x)\;\)是\(\;f(x)\;\)的因式。 這就是因式定理。
因式定理
例子：設\(\;f(x)=x^4-5x^3+3x^2+7x-2\)，判斷下列何者為\(\;f(x)\;\)的因式：
在右面的模擬模型中，移動數值滑桿來輸入被除式\(\;f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\;\)和除式\(\;g(x)=mx-n\)，\(f(x)\;\)的圖像和\(\;f(x)\div g(x)\;\)的餘數將會被顯示出來。
現在請輸入被除式\(\;f(x)=x^4-5x^3+3x^2+7x-2\)，觀察\(\;f(x)\;\)的圖像，注意\(\;f(x)\;\)與\(\;x\;\)軸交點的數目和位置。 然後輸入各個除式，看看餘數是否為\(\;0\)。如果餘數為\(\;0\)，除式所對應的交點會被顯示出來。根據實驗結果，試回答以下問題：
|
\(x+1\) |
\(2x+1\) |
\(x-2\) |
繼續嘗試不同的除式，你能找到餘下交點所對應的除式嗎？
你也可以嘗試其他被除式，例如\(\;6x^4-x^3-8x^2+x+2\)，並嘗試找出它的因式。在下一課，我們將討論如何有系統地找出因子的問題。
提示
因為
\begin{align*} f(-1) &= (-1)^4-5(-1)^3+3(-1)^2+7(-1)-2 \\ &= 1+5+3-7-2 = 0 \end{align*}所以\(\;x+1\;\)是\(\;f(x)\;\)的因式。
因為
\begin{align*} f\left(-\frac{1}{2}\right) &= \left(-\frac{1}{2}\right)^4-5\left(-\frac{1}{2}\right)^3+3\left(-\frac{1}{2}\right)^2+7\left(-\frac{1}{2}\right)-2 \\ &= \frac{1}{16}+\frac{5}{8}+\frac{3}{4}-\frac{7}{2}-2 =\frac{-65}{16} \neq 0 \end{align*}所以\(\;2x+1\;\)不是\(\;f(x)\;\)的因式。
因為
\begin{align*} f(2) &= (2)^4-5(2)^3+3(2)^2+7(2)-2 \\ &= 16-40+12+14-2 = 0 \end{align*}所以\(\;x-2\;\)是\(\;f(x)\;\)的因式。
根據以上結果，我們能對\(\;f(x)=x^4-5x^3+3x^2+7x-2\;\)進行因式分解。
思考 我們已知\(\;f(x)\;\)的其中兩個因式，如何能找到其他因式呢？
我們可以把\(\;f(x)\;\)除以已知的因式。我們首先把\(\;f(x)\;\)除以\(\;x+1\)（詳細步驟請按此），得
\[f(x)=x^4-5x^3+3x^2+7x-2 = (x+1)(x^3-6x^2+9x-2) \]再將商式\(\;x^3-6x^2+9x-2\;\)除以\(\;f(x)\;\)的另一因式\(\;x-2\)（看步驟），得
\begin{align*} f(x) = x^4-5x^3+3x^2+7x-2 &= (x+1)(x^3-6x^2+9x-2) \\ &= (x+1)(x-2)(x^2-4x+1) \end{align*}因為\(\;x^2-4x+1\;\)沒有係數為整數的因式，所以因式分解到這裡便可以了。
