[興倫智能課堂] 多項式的運算

第二節多項式的長除法

在上一節中，我們用消去公因式的方法來計算多項式除以單項式。不過，當除式不是單項式時，我們便不能利用此方法來求商式。這時候，我們便要利用長除法。如有需要，可先重溫一下整數的長除法。

例如，要計算\(\;1439\div 17\;\)：

第一步：

先如右方般列式。這題中，\(1439\;\)是被除數，\(17\;\)是除數，除號的上方寫計算出來的商

\[\require{enclose} \begin{array}{rrl} & & \hbox{（商）} \\[-3pt] \hbox{（除數）} & 17 \enclose{longdiv}{1439} & \hbox{（被除數）} \end{array}\]

第二步：

從左到右觀察被除數，直到大於除數就開始求商，這裡是\(\;143\)

\[\require{enclose} \begin{array}{rrl} & 8\phantom{0} & \phantom{\hbox{（商）}} \\[-3pt] \phantom{\hbox{（除數）}} & 17 \enclose{longdiv}{\color{red}{143}9} & \phantom{\hbox{（被除數）}} \\[-3pt] & \underline{136\phantom{0}} & \end{array}\]

第三步：

相減得\(\;7\)，再將上方的\(\;9\)取下補成\(\;79\)，繼續求商

\[\require{enclose} \begin{array}{rrl} & 8\phantom{0} & \phantom{\hbox{（商）}} \\[-3pt] \phantom{\hbox{（除數）}} & 17 \enclose{longdiv}{1439} & \phantom{\hbox{（被除數）}} \\[-3pt] & \underline{136\phantom{0}} & \\[-3pt] & \phantom{0}79 & \end{array}\]

第四步：

重覆以上求商的步驟，直至餘數小於除數為止

\[\require{enclose} \begin{array}{rrl} & 84 & \phantom{\hbox{（商）}} \\[-3pt] \phantom{\hbox{（除數）}} & 17 \enclose{longdiv}{1439} & \phantom{\hbox{（被除數）}} \\[-3pt] & \underline{136\phantom{0}} & \\[-3pt] & \phantom{0}79 & \\[-3pt] & \underline{\phantom{0}68} & \\[-3pt] & \phantom{0}11 & \hbox{（餘數）} \end{array}\]

所以\(\;1439\div 17\;\)的商是\(\;84\)，餘數是\(\;11\)。注意餘數必定比除數小。

上一步下一步

多項式的長除法

多項式的長除法和整數的長除法類似，我們將透過以下的例子示範多項式的長除法的各步驟。

例子：求\(\;(x^3+x^2-4x+8)\div(x+3)\)

第一步：

把多項式按降幂排列，如右方般列式。這裡\(x^3+x^2-4x+8\;\)是被除式，\(x+3\;\)是除式，除號的上方寫計算出來的商式

\[\require{enclose} \begin{array}{rrl} & \phantom{0x^2} & \\[-3pt] & x+3 \enclose{longdiv}{x^3+\phantom{0}x^2-4x+8} & \end{array}\]

第二步：

將被除式左邊的項與除數左邊的項相除，得出的結果放在商式處

\[\require{enclose} \begin{array}{rrl} & x^2\phantom{ {}+0x+0} & \\[-3pt] & x+3 \enclose{longdiv}{x^3+\phantom{0}x^2-4x+8} & \end{array}\]

第三步：

將上一步的結果乘以除式，結果以同類項對齊的方式寫在被除式下面

\[\require{enclose} \begin{array}{rrl} & x^2\phantom{{}+0x+0} & \\[-3pt] & x+3 \enclose{longdiv}{x^3+\phantom{0}x^2-4x+8} & \\[-3pt] & \underline{x^3+3x^2\phantom{{}+0x+0 }} & \end{array}\]

第四步：

用被除式減去上一步得到的積，再將上方的項\(\;-4x\;\)取下補成\(\;-2x^2-4x\)

\[\require{enclose} \begin{array}{rrl} & x^2\phantom{ { }+0x+0} & \\[-3pt] & x+3 \enclose{longdiv}{x^3+\phantom{0}x^2-4x+8} & \\[-3pt] & \underline{x^3+3x^2\phantom{ { }+0x+0 }} & \\[-3pt] & -2x^2-4x\phantom{ { }+0} & \end{array}\]

第五步：

重覆以上的步驟求商，直至餘式的次數小於除式的次數為止

\[\require{enclose} \begin{array}{rrl} & x^2-2x+2 & \\[-3pt] & x+3 \enclose{longdiv}{x^3+\phantom{0}x^2-4x+8} & \\[-3pt] & \underline{x^3+3x^2\phantom{{}+0x+0 }} & \\[-3pt] & -2x^2-4x\phantom{ {}+0} & \\[-3pt] & \underline{-2x^2-6x\phantom{{}+0 }} & \\[-3pt] & 2x+8 & \\[-3pt] & \underline{2x+6} & \\[-3pt] & 2 & \end{array}\]

在這題中，商式是\(\;x^2-2x+2\)，餘式是\(\;2\)。

\[\require{enclose} \begin{array}{rrl} & x^2-2x+2 & \\[-3pt] & x+3 \enclose{longdiv}{x^3+\phantom{0}x^2-4x+8} & \\[-3pt] & \underline{x^3+3x^2\phantom{{}+0x+0}} & \\[-3pt] & -2x^2-4x\phantom{ { }+0} & \\[-3pt] & \underline{-2x^2-6x\phantom{{}+0 }} & \\[-3pt] & 2x+8 & \\[-3pt] & \underline{2x+6} & \\[-3pt] & 2 & \end{array}\]

上一步下一步

餘式的次數必定比除式的次數小。
在這題中，餘式是\(\;2\)，因為\(\;2\;\)是個常數，所以又可稱為餘數。

例子二

活動 - 探討除法對次數的影響

設\(\;f(x)=x^3+2x-1, g(x)=x-1\)，請完成下表。

	\(f(x)\)	\(g(x)\)	\(f(x)\div g(x)\;\)的商式	\(f(x)\div g(x)\;\)的餘式
次數

設\(\;f(x)=x^3+2x^2+x-2, g(x)=x^2+1\)，請完成下表。

	\(f(x)\)	\(g(x)\)	\(f(x)\div g(x)\;\)的商式	\(f(x)\div g(x)\;\)的餘式
次數

設\(\;f(x)=3x^3-2x^2-2x-1, g(x)=x^2-x+1\)，請完成下表。

	\(f(x)\)	\(g(x)\)	\(f(x)\div g(x)\;\)的商式	\(f(x)\div g(x)\;\)的餘式
次數

我們知道餘式的次數一定小於除式的次數。除此之外，從以上例子中，你能看到被除式、除式、商式和餘式的次數之間的關係嗎？

被除式的次數 = 商式的次數 + 除式的次數。

思考那麼，被除式、除式、商式和餘式的常數項之間有關係嗎？

學習下一節後，我們將能解答這個問題。