因式定理能用於整數的整除性測試上。以\(\;11\;\)為例子，若我們想知道一個整數能否被\(\;11\;\)整數，當然可以利用長除法。不過，利用因式定理，我們也能設計一個比長除法更有效的整除性測試，來判定一個整數能否被\(\;11\;\)整除。以下將逐步介紹這個設計。

1. 首先，若\(\;n\;\)為一正整數，請以因式定理判斷\(\;x+1\;\)甚麼時候是\(\;x^n+1\;\)和\(\;x^n-1\;\)的因式。

   提示

   看答案

   設\(\;P(x)=x^n+1, Q(x)=x^n-1\)，當\(\;n\;\)是奇數時，我們有

   \begin{align*} P(-1) &= (-1)^n+1 = 0, & Q(-1) &= (-1)^n-1 = -2 \end{align*}

   而當\(\;n\;\)是偶數時，我們有

   \begin{align*} P(-1) &= (-1)^n+1 = 2, & Q(-1) &= (-1)^n-1 = 0 \end{align*}

   所以，當\(\;n\;\)是奇數時，\(\;x+1\;\)是\(\;x^n+1\;\)的因式，但不是\(\;x^n-1\;\)的因式。當\(\;n\;\)是偶數時，情況則相反，\(\;x+1\;\)是\(\;x^n-1\;\)的因式，但不是\(\;x^n+1\;\)的因式。

   注意 以上結論相當於對所有\(\;n\)，\(x+1\;\)都是\(\;x^n-(-1)^n\;\)的因式。

2. 現在設\(\;f(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0\;\)為一多項式，且係數均為整數，又設\(\;C=(-1)^na_n+\ldots-a_1+a_0\)，證明\(\;x+1\;\)是\(\;f(x)-C\;\)的因式。

   提示

   看答案

   我們有

   \begin{align*} f(x)-C = a_n(x^n-(-1)^n)+\ldots+a_1(x-1) \end{align*}

   根據 1. 的結果，算式中每一項都能被\(\;x+1\;\)整除，所以\(\;x+1\;\)是\(\;f(x)-C\;\)的因式。

3. 現在代入\(\;x=10\;\)到 2. 中，可知\(\;f(10)-C\;\)能被\(\;11\;\)整除。換句話說，\(\;f(10)\;\)除以\(\;11\;\)的餘數和\(\;C\;\)除以\(\;11\;\)的餘數相等。

   若\(\;f(x)\;\)的所有係數都是個位數（可以是零），則這些係數\(\;a_i\;\)與\(\;f(10)\;\)的位對應。一個例子是 \[123431=1\times 10^5+2\times 10^4+3\times 10^3+4\times 10^2+3\times 10+1\]

4. 例子

   例如，要檢查\(\;123431\;\)能否被\(\;11\;\)整除，我們可以計算 \[C=-1+2-3+4-3+1 = 0\] 所以\(\;123431\;\)能被\(\;11\;\)整除。

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