在計算多項式除法時，我們發現當除式是一個一次多項式\(\;x-k\;\)時，餘數和某些函數值有關。現在我們將更進一步探討這種關係。
在附設的計算器中，移動數值滑桿來輸入被除式\(\;f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\;\)和除式\(\;g(x)=x-k\;\)的係數，商式、餘數和\(\;f(k)\;\)的值將被自動計算出來。
現在請用右面的計算器來完成以下各項：
餘式定理：
當多項式\(\;f(x)\;\)除以\(\;x-k\;\)時，所得的餘數等於\(\;f(k)\)。
注意 利用餘式定理能找出餘數的值，但不能找出商式。
從以上實驗，我們得到餘數和函數值\(\;f(k)\;\)的關係。事實上，我們可以利用除法算式來證明此結論。
首先注意當\(\;f(x)\;\)除以\(\;x-k\;\)時，由於除式\(\;x-k\;\)是一次多項式，而餘式的次數較除式的次數為小，所以餘式的次數為\(\;0\)。換句話說，餘式是個常數。設這個餘數為\(\;R\)。
根據除法算式，可得
\[f(x) \equiv (x-k)\cdot Q(x) + R，\]其中\(\;Q(x)\;\)為商式。這裡要注意，由於除法算式是個恆等式，無論變數\(\;x\;\)的值是多少，以上算式皆成立。
思考 我們不知道商式，但不需要求出商式。代入怎樣的\(\;x\;\)值，才能幫助我們消去商式項而得\(\;R\)？
現在把\(\;x=k\;\)代入算式中，可得
\begin{align*} f(k) &= (k-k)\cdot Q(k) + R \\ &= 0 \cdot Q(k) + R \\ &= R \end{align*}即\(\;f(k)=R\)，這就是餘式定理。
思考 當除式\(\;g(x)\;\)是形如\(\;mx-n\;\)的一次多項式時，我們有類似餘式定理般，代入某函數值求餘數的公式嗎？
提示
當\(\;f(x)\;\)除以\(\;mx-n\;\)時，根據除法算式可得
\[f(x) \equiv (mx-n)\cdot Q(x) + R，\]其中\(\;Q(x)\;\)為商式。
由於除法算式是個恆等式，無論變數\(\;x\;\)的值是多少，以上算式皆成立。現在把\(\;x=\frac{n}{m}\;\)代入算式中，可得
\begin{align*} f\left(\frac{n}{m}\right) &= \left[m\left(\frac{n}{m}\right)-n\right]\cdot Q\left(\frac{n}{m}\right) + R \\ &= 0 \cdot Q\left(\frac{n}{m}\right) + R \\ &= R \end{align*}即\(\;f\left(\frac{n}{m}\right)=R\)。所以餘式定理亦可寫成以下的形式：
餘式定理：
當多項式\(\;f(x)\;\)除以\(\;mx-n\;\)時，所得的餘數等於\(\displaystyle\;f\left(\frac{n}{m}\right)\)。
注意 在這個形式中令\(\;m=1, n=k\;\)便可得回上一小節的形式，所以只要記住這個形式便可以了。