由餘式定理可得

\begin{align*} P(b) &= -b \\ 2b^2-b(b)-6 &= -b \\ b^2+b-6 &= 0 \\ k &= 2~\hbox{或}~-3 \end{align*}

設\(\;f(x)=x^3-ax^2+x+b\)，由餘式定理可得\(\;f(-1)=5\;\)和\(\;f(2)=7\)。簡化這兩個等式可得

\begin{align} f(-1) &= 5 \nonumber \\ (-1)^3-a(-1)^2+(-1)+b &= 5 \nonumber \\ a+b-2 &= 5 \nonumber \\ a+b &= 7 \label{eqn1} \end{align}

及

\begin{align} f(2)&=8 \nonumber \\ 2^3-a(2)^2+2+b &= 7 \nonumber \\ -4a+b+10 &= 7 \nonumber \\ -4a+b &= -3 \label{eqn2} \end{align}

繼續

1. 由餘式定理可得

   \begin{align*} P(1) &= 4 \\ 1^2-3(1)+k &= 4 \\ k-2 &= 4 \\ k &= 6 \end{align*}

2. 我們可以用代入法，先計算多項式\(\;P(2x+1)\)，然後用餘式定理，但我們有更好的方法。

   繼續

   設\(\;P^{\prime}(x)=P(2x+1)\)，則\(\;P^{\prime}(x)\;\)也是一多項式。對\(\;P^{\prime}(x)\;\)運用餘式定理，可得 \begin{align*} \hbox{餘數} = P^{\prime}(2) &= P(2(2)+1) \\ &= P(5) \\ &= 5^2-3(5)+6 \\ &= 16 \end{align*}

   注意 熟習這類問題後，可直接代入\(\;x=2\;\)於\(\;P(2x+1)\;\)中，得\(\;P(2(2)+1)=P(5)\)，無須再另設多項式\(\;P^{\prime}(x)\)。