在上一課中，我們學習了因式定理。這一節將討論如何用因式定理來進行因式分解。
設\(\;f(x)\;\)是一多項式。在上一課中，我們發現如果\(\;f(x)\;\)有已知的因式，我們便可以用除法來找出其他因式，繼而對\(\;f(x)\;\)進行因式分解。
問題 如何找出\(\;f(x)\;\)的其中一個因式？
例子：設\(\;f(x)=6x^3-5x^2-7x+4\)，試找出\(\;f(x)\;\)的一個因式。
問題 假設\(\;ax+b\;\)為\(\;f(x)\;\)的因式，其中\(\;a,b\;\)均為整數而\(\;a>0\)、\(a,b\;\)沒有任何大於\(\;1\;\)的公因數，那麼\(\;a,b\;\)和\(\;f(x)\;\)的係數有甚麼關係嗎？
假設\(\;ax+b\;\)為\(\;f(x)\;\)的因式，而\(\;Q(x)=px^2+qx+r\;\)為商式。根據除法算式，可得
\[f(x)=6x^3-5x^2-7x+4=(ax+b)(px^2+qx+r)\]展開上式右面的乘法，然後比較同類項的係數，可得
\(ap=\;\) ，及 \(br=\;\) 。由於\(\;a\;\)為正整數，\(b\;\)為整數，所以\(\;a\;\)可能是
|
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
\(4\) |
\(5\) |
\(6\) |
而\(\;b\;\)可能是
|
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
\(4\) |
\(5\) |
\(6\) |
|
\(-1\) |
\(-2\) |
\(-3\) |
\(-4\) |
\(-5\) |
\(-6\) |
在模擬模型中，移動數值滑桿來輸入被除式\(\;f(x)=6x^3-5x^2-7x+4\;\)。逐一輸入上面找到的所有可能除式，以因式定理檢查餘數是否為\(\;0\)，直至找到任何一個因式為止。
\(f(x)\;\)的其中一個因式為 （請以\(\;ax+b\;\)的形式輸入答案）。
你可以試試其他被除式，例如\(\;2x^3-3x^2-9x+10\)，並嘗試找出它的其中一個因式。
只要找到\(\;f(x)\;\)的其中一個因式，便可以對它進行因式分解。我們來看看以下例子。
設\(\;f(x)=6x^3-5x^2-7x+4\)。
透過上一節的活動，我們發現\(\;x+1\;\)是\(\;f(x)\;\)的一個因式，我們也可以透過因式定理來證明這事實：
\begin{align*} f(-1) = 6(-1)^3-5(-1)^2-7(-1)+4 = 0 \end{align*} \begin{align*} f(x) &= (x-1)(6x^2-11x+4) \\ &= (x-1)(2x-1)(3x-4) \end{align*}注意 要試的除式可能有很多，我們不需要在步驟中顯示不成功的試算。
利用 a. 的因式分解，可得
\begin{align*} f(x) &= 0 \\ (x-1)(2x-1)(3x-4) &= 0 \\ x &= 1、\frac{1}{2}~\hbox{或}~\frac{4}{3} \end{align*}設\(\;f(x)=2x^3-7x^2+2\)。
首先，我們注意到
\begin{align*} f\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^3-7\left(-\frac{1}{2}\right)^2+2 = 0 \end{align*}所以\(\;2x+1\;\)是\(\;f(x)\;\)的一個因式。將\(\;f(x)\;\)除以\(\;2x+1\;\)，可得
\begin{align*} f(x) &= (2x+1)(x^2-4x+2) \end{align*}由於\(\;x^2-4x+2\;\)沒有係數為整數的因式，所以上一行的算式就是\(\;f(x)\;\)的因式分解。
利用 a. 的因式分解，可得
\begin{align*} f(x) &= 0 \\ (2x+1)(x^2-4x+2) &= 0 \\ x &= -\frac{1}{2}~ \hbox{或}~ x^2-4x+2 = 0 \\ x &= -\frac{1}{2}~ \hbox{或}~ \frac{4\pm\sqrt{8}}{2} \\ x &= -\frac{1}{2}~ \hbox{或}~ 2\pm\sqrt{2} \end{align*}