[興倫智能課堂] 不等式

第二節以代數方法求解一元二次不等式

以代數方法求解一元二次不等式

在以代數方法求解一元二次不等式，我們要先求得對應的二次方程的根。之後，我們可用兩個不同的方式去求解不等式。

方法一 - 因式分解法

根據乘法的規則，可得以下兩點：

若\(\;ab \gt 0\)，則\(\;\begin{cases} a \gt 0 \\ b \gt 0 \end{cases}\;\)或\(\;\begin{cases} a \lt 0 \\ b \lt 0 \end{cases}\)。換句話說，若兩數的正負號相同，則它們的積為正數。
若\(\;ab \lt 0\)，則\(\;\begin{cases} a \gt 0 \\ b \lt 0 \end{cases}\;\)或\(\;\begin{cases} a \lt 0 \\ b \gt 0 \end{cases}\)。換句話說，若兩數的正負號不同，則它們的積為負數。

若以「≥」和「≤」代替上面的「>」和「>」時，以上兩點依然成立。

對二次不等式進行因式分解後，我們可利用以上法則來把因子分拆為複合一次不等式後求解。

例如：考慮二次不等式 \[ 2x^2-x-3 \gt 0 \] 進行因式分解後可得 \[ (x+1)(2x-3) \gt 0 \] 利用以上法則 1.，可得 \[ \begin{cases} x + 1 \gt 0 \\ 2x-3 \gt 0 \end{cases} \hbox{ 或 } \begin{cases} x+1 \lt 0 \\ 2x-3 \lt 0 \end{cases} \] 第一組不等式\(\;\begin{cases} x + 1 \gt 0 \\ 2x-3 \gt 0 \end{cases}\;\)的解為\(\;x \gt \frac{3}{2}\)，而第二組不等式的解為\(\;x\lt -1\)，所以二次不等式\(\;2x^2-x-3 \gt 0\;\)的解為 \[ x \gt \frac{3}{2} ~\hbox{ 或 }~ x\lt -1 \]

例子一：以代數方法求解一元二次不等式 - 因式分解法

以代數方法求解以下不等式：

\(x^2+x \leq 6\)
\(-3x^2+4x-1 \leq 0\)
\(x^2+2x-1 \gt 0\)

考慮 \begin{align*} x^2+x &\leq 6 \\ x^2+x-6 &\leq 0 \\ (x+3)(x-2) &\leq 0 \\ \begin{cases} x+3 \geq 0 \\ x-2 \leq 0 \end{cases} && \hbox{或} &&& \begin{cases} x+3 \leq 0 \\ x-2 \geq 0 \end{cases} \\ (x \geq -3 ~\hbox{及}~ x &\leq 2) & \hbox{或} && (x &\leq -3 ~\hbox{及}~ x \geq 2) \\ -3 \leq x &\leq 2 & \hbox{或} &&& \hbox{無解} \end{align*} 所以，二次不等式的解為\(\;-3 \leq x \leq 2\)。

為方便起見，我們先以移項把\(\;x^2\;\)的系數變成正數，考慮 \begin{align*} -3x^2+4x-1 &\leq 0 \\ 3x^2-4x+1 &\geq 0 \\ (3x-1)(x-1) &\geq 0 \\ \begin{cases} 3x-1 \geq 0 \\ x-1 \geq 0 \end{cases} && \hbox{或} &&& \begin{cases} 3x-1 \leq 0 \\ x-1 \leq 0 \end{cases} \\ (x \geq \frac{1}{3} ~\hbox{及}~ x &\geq 1) & \hbox{或} && (x &\leq \frac{1}{3} ~\hbox{及}~ x \leq 1) \\ x &\geq 1 & \hbox{或} && x &\leq \frac{1}{3} \end{align*} 所以，二次不等式的解為 \[ x \geq 1 ~\hbox{ 或 }~ x \leq \frac{1}{3} \]

注意我們無法簡單地把\(\;x^2+2x-1\;\)因式分解，但我們可利用二項公式： \begin{align*} x^2&+2x-1 = 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ &= \frac{-2\pm\sqrt{8}}{2} \\ &= -1\pm\sqrt{2} \end{align*} 所以 \begin{align*} x^2+2x-1 &\gt 0 \\ (x-(-1+\sqrt{2}))(x-(-1-\sqrt{2})) &\gt 0 \\ \begin{cases} x-(-1+\sqrt{2}) \gt 0 \\ x-(-1-\sqrt{2}) \lt 0 \end{cases} ~\hbox{或} &~ \begin{cases} x-(-1+\sqrt{2}) \lt 0 \\ x-(-1-\sqrt{2}) \gt 0 \end{cases} \\ %(x \gt -1+\sqrt{2} ~\hbox{及}~ x &\lt -1-\sqrt{2}) & \hbox{或} && (x &\lt -1+\sqrt{2} ~\hbox{及}~ x \gt -1-\sqrt{2}) \\ %\hbox{無解} && \hbox{或} && -1-\sqrt{2} &\leq x \leq -1+\sqrt{2} \end{align*} 對第一組不等式，我們有 \begin{align*} \begin{cases} x-(-1+\sqrt{2}) \gt 0 \\ x-(-1-\sqrt{2}) \lt 0 \end{cases}& \\ x \gt -1+\sqrt{2} ~\hbox{及} &~ x \lt -1-\sqrt{2} \end{align*} 這組不等式無解。對第二組不等式，我們有 \begin{align*} \begin{cases} x-(-1+\sqrt{2}) \lt 0 \\ x-(-1-\sqrt{2}) \gt 0 \end{cases}& \\ x \lt -1+\sqrt{2} &~\hbox{及} ~ x \gt -1-\sqrt{2} \\ -1-\sqrt{2} & \leq x \leq -1+\sqrt{2} \end{align*} 所以，二次不等式的解為\(\;-1-\sqrt{2} \leq x \leq -1+\sqrt{2}\)。

以下為這組複合不等式的圖像：

從圖像可見，這組複合不等式無解。

例子二：以因式分解法求解一元二次不等式的限制

以代數方法求解二次不等式 \[-x^2+x-1 \geq 0\]

考慮二次方程\(\;-x^2+x-1=0\;\)的判別式 \[ \Delta = 1^2-4(-1)(-1) = -3 \lt 0 \] 所以此方程無解。因此二次不等式 \[-x^2+x-1 \geq 0\] 無法以因式分解的方法來求解。若要以代數方法解此不等式，可利用下一節將會介紹的試值法。

你可按此參看以圖解法此不等式的步驟。

方法二 - 試值法

一條二次不等式，例如 \[ x^2-x-2 \gt 0 \] 的解之邊界為其對應的二次方程\(\;x^2-x-2=0\;\)之根，而這些根把實數線分成數個區間，例如在這個例子中，二次方程的根\(\;-1, 2\;\)就把實數線分成三個區間：

試值法的關鍵，是觀察到二次函數在每一個區間當中的正負值都不會改變，所以我們只需要在每個區間中都選出一點，並測試這點是否滿足所給的不等式。例如，在以上的例子中，我們可以選\(\;x=-2, 0, 3\)，代入不等式\(\;x^2-x-2 \gt 0\;\)中進行測試： \begin{align*} x=-2: && (-2)^2-(-2)-2 = 4 &\gt 0 & \color{green}{✔} \\ x=0: && (0)^2-(0)-2 = -2 &\lt 0 & \color{red}{✘} \\ x=3: && (3)^2-(3)-2 = 4 &\gt 0 & \color{green}{✔} \end{align*} 由此可知，只有第一個和第三個區間中的\(\;x\;\)值滿足該不等式，即該不等式的解為 \[ x \lt -1 ~\hbox{ 或 }~ x \gt 2 \] 注意這例子中的不等號為「>」，所以不等式的解並不包括區間的邊界。

例子一：以代數方法求解一元二次不等式 - 試值法

以代數方法求解以下不等式：

\(-x^2-x+30 \geq 0\)
\(x^2-2x+4 \lt 0\)

考慮 \begin{align*} -x^2-x+30 &\geq 0 \\ x^2+x-30 &\leq 0 \\ (x+6)(x-5) &\leq 0 \end{align*}

選\(\;x=-7, 0, 6\)，代入不等式\(\;(x+6)(x-5) \leq 0\;\)中進行測試： \begin{align*} x=-7: && (-7+6)(-7-5) = 12 &\gt 0 & \color{red}{✘} \\ x=0: && (0+6)(0-5) = -30 &\lt 0 & \color{green}{✔} \\ x=6: && (6+6)(6-5) = 12 &\gt 0 & \color{red}{✘} \end{align*} 所以，二次不等式的解為\(\;-6 \leq x \leq 5\)。注意題目中的不等號為「≥」，所以不等式的解包括區間的邊界。

考慮 \begin{align*} x^2-2x+4 &\gt 0 \end{align*} 二次方程\(\;x^2-2x+4=0\;\)的判別式為 \begin{align*} \Delta = (-2)^2-4(1)(4)=-12 \lt 0 \end{align*} 即\(\;x^2-2x+4=0\;\)沒有根。我們只有一個區間，選\(\;x=0\)，代入不等式\(\;x^2-2x+4 \gt 0\;\)中進行測試： \begin{align*} x=0: && (0)^2-2(0)+4 = 4 &\gt 0 & \color{red}{✘} \end{align*} 所以，題目的二次不等式沒有解。

例子二：以代數方法求解一元二次不等式 - 試值法

以代數方法求解以下不等式：

\(x^2-6x+9 \geq 0\)
\(x^2-6x+9 \gt 0\)
\(x^2-6x+9 \leq 0\)

考慮 \begin{align*} x^2-6x+9 &\geq 0 \\ (x-3)^2 &\geq 0 \end{align*}

我們只有兩個區間，選\(\;x=0, 4\)，代入不等式\(\;(x-3)^2 \geq 0\;\)中進行測試： \begin{align*} x=0: && (0-3)^2 = 9 &\gt 0 & \color{green}{✔} \\ x=4: && (4-3)^2 = 1 &\gt 0 & \color{green}{✔} \end{align*} 注意題目中的不等號為「≥」，所以不等式的解包括區間的邊界（即\(\;x=3\)），不等式的解為所有實數。

和上一部分類似，選\(\;x=0, 4\)，代入不等式\(\;(x-3)^2 \gt 0\;\)中進行測試： \begin{align*} x=0: && (0-3)^2 = 9 &\gt 0 & \color{green}{✔} \\ x=4: && (4-3)^2 = 1 &\gt 0 & \color{green}{✔} \end{align*} 雖然所有區間都滿足不等式，但注意題目中的不等號為「>」，所以不等式的解並不包括區間的邊界（即\(\;x=3\)）。因此，不等式的解為 \[ x \lt 3 ~\hbox{ 或 }~ x \gt 3 \]

和上一部分類似，選\(\;x=0, 4\)，代入不等式\(\;(x-3)^2 \geq 0\;\)中進行測試： \begin{align*} x=0: && (0-3)^2 = 9 &\gt 0 & \color{red}{✘} \\ x=4: && (4-3)^2 = 1 &\gt 0 & \color{red}{✘} \end{align*} 雖然沒有區間滿足不等式，但注意題目中的不等號為「≤」，所以不等式的解包括區間的邊界（即\(\;x=3\)）。因此，不等式的解為\(\;x=3\)。