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第一節 以圖解法求解一元二次不等式
一元二次不等式

一元二次不等式和一元二次方程十分相似，不同的是在二次方程中的等號「\(=\)」，變成在二次不等式中的不等號「\(\gt\)」、「\(\geq\)」、「\(\lt\)」或「\(\leq\)」，例如 \[ x^2-5x-3 \lt 0, x^2 + 6x + 9 \geq 0, x^2 + 1 \gt 0。 \]

在本節中，我們將討論如何以圖解法求解這些不等式。如有需要，請先重溫二次函數的圖像及以圖像法解二次方程的方法。我們會從活動開始討論求解一元二次不等式的圖解法。

數學實驗 - 一元二次不等式的解

在附設的模擬模型中，藍色曲線是二次函數\(\;y=ax^2+bx+c\;\)的圖像。我們將考慮一元二次不等式 \[ ax^2+bx+c \geq 0 \] 你可以移動數值滑桿改變系數\(\;a,b,c\;\)的值，亦可在不等式中選擇不同的不等號，不等式的解將在數線上顯示出來。

這個實驗的目的是研究一元二次不等式的解和其對應的二次函數圖像之關係。

  1. 首先設定不等式為\(\;x^2-x-2\geq 0\)（即\(\;a=1, b=-1, c=-2\)，不等號為「≥」）。
    1. 不等式的解為
      \(x\leq\;\) \(x\;\)
    2. 觀察函數\(\;y=x^2-x-2\;\)的圖像，上述的解所對應的\(\;y\;\)值都在

      \(x\;\)軸的上方

      \(x\;\)軸的下方

      \(y\;\)軸的上方

      \(y\;\)軸的下方
    3. 不等式的解包括二次方程\(\;x^2-x-2=0\;\)的兩個根嗎？

      包括

      不包括
  2. 現在設定不等式為\(\;2x^2-3x-5\lt 0\)。
    1. 不等式的解為
      \(x\gt\;\) \(x\;\)
    2. 觀察函數\(\;y=2x^2-3x-5\;\)的圖像，上述的解所對應的\(\;y\;\)值都在

      \(x\;\)軸的上方

      \(x\;\)軸的下方

      \(y\;\)軸的上方

      \(y\;\)軸的下方
    3. 不等式的解包括二次方程\(\;2x^2-3x-5=0\;\)的兩個根嗎？

      包括

      不包括
  3. 最後，設定不等式為\(\;-3x^2-4x+2 \gt 0\)。
    1. 不等式的解為（準確至小數點後兩位）
      \(x\gt\;\) \(x\;\)
    2. 觀察函數\(\;y=-3x^2-4x+2\;\)的圖像，上述的解所對應的\(\;y\;\)值都在

      \(x\;\)軸的上方

      \(x\;\)軸的下方

      \(y\;\)軸的上方

      \(y\;\)軸的下方
    3. 不等式的解包括二次方程\(\;-3x^2-4x+2=0\;\)的兩個根嗎？

      包括

      不包括
  4. 你能猜到不等式的解和其對應的二次函數圖像之關係嗎？試試改變系數和不等號來看看你的猜想是否正確。（答案會在「提交」後顯示）

這個實驗的目的是研究一元二次不等式何時有解，及其解的性質。

  1. 首先設定不等式為\(\;x^2-2x \gt 0\)（即\(\;a=1, b=-2, c=0\)，不等號為「>」）。
    1. 這條不等式所對應的二次方程\(\;x^2-2x=0\;\)有多少個根？

      \(0\)

      \(1\)

      \(2\)
    2. 不等式\(\;x^2-2x \gt 0\;\)有解嗎？

      有

      沒有
    3. 不等式的解符合以下哪項？

      一個有限長的區間

      一個無限長的區間

      兩個無限長的區間

      所有實數

      一點

      無解
    4. 在系數保持不變的情況下，把不等式中的不等號改成「<」，這時不等式的解符合以下哪項？

      一個有限長的區間

      一個無限長的區間

      兩個無限長的區間

      所有實數

      一點

      無解
  2. 現在，設定不等式為\(\;-x^2+4x-4 \geq 0\)。
    1. 這條不等式所對應的二次方程\(\;-x^2+4x-4=0\;\)有多少個根？

      \(0\)

      \(1\)

      \(2\)
    2. 不等式\(\;-x^2+4x-4 \geq 0\;\)有解嗎？

      有

      沒有
    3. 不等式的解符合以下哪項？

      一個有限長的區間

      一個無限長的區間

      兩個無限長的區間

      所有實數

      一點

      無解
    4. 在系數保持不變的情況下，把不等式中的不等號改成「≤」，這時不等式的解符合以下哪項？

      一個有限長的區間

      一個無限長的區間

      兩個無限長的區間

      所有實數

      一點

      無解
  3. 最後，設定不等式為\(\;x^2+1 \geq 0\)。
    1. 這條不等式所對應的二次方程\(\;y=x^2+1\;\)有多少個根？

      \(0\)

      \(1\)

      \(2\)
    2. 不等式\(\;x^2+1 \geq 0\;\)有解嗎？

      有

      沒有
    3. 不等式的解符合以下哪項？

      一個有限長的區間

      一個無限長的區間

      兩個無限長的區間

      所有實數

      一點

      無解
    4. 在系數保持不變的情況下，把不等式中的不等號改成「≤」，這時不等式的解符合以下哪項？

      一個有限長的區間

      一個無限長的區間

      兩個無限長的區間

      所有實數

      一點

      無解

一元二次不等式
以圖解法求解一元二次不等式

若要以圖解法求解一元二次不等式 \[ ax^2+bx+c \gt 0 \] 我們首先應繪畫其對應的二次函數\(\; y=ax^2+bx+c \;\)之圖像，並從圖像中讀出不等式的解。例如，若我們要解不等式 \[ x^2-x-2 \gt 0 \] 則首先繪畫二次函數\(\;y=x^2-x-2\;\)的圖像如下：

由於\(\; y=x^2-x-2 \)，一元二次不等式\(\; x^2-x-2 \gt 0 \;\)相當於\(\;y\gt 0\)，即\(\;x\;\)軸上方的區域。從圖 1 可以看出，當\(\;x\lt -1\;\)或\(\;x\gt 2\;\)時，函數的圖像在\(\;x\;\)軸上方，因此不等式\(\; x^2-x-2 \gt 0 \;\)的解為 \[ x\lt -1 \hbox{ 或 } x\gt 2。 \]

同理，不等式 \[ x^2-x-2 \lt 0 \] 的解則為函數圖像在\(\;x\;\)軸下方時對應的\(\;x\;\)值，即\(\;-1\lt x\lt 2\)。

注意

  • 若不等式中的不等號為「≥」或「≤」，解題的方法類似，但不等式的解應包括二次函數在\(\;x\;\)軸上的點。
  • 以圖解法求得的解都只是近似值，如要求得不等式的準確解，需使用代數方法，我們會在下一節討論這種方法。

例子一：以圖解法求解一元二次不等式

以圖解法求解以下不等式：

  1. \(x^2-5x+4 \geq 0\)
  2. \(x^2+x+1 \leq 0\)
  3. \(-x^2+5x-3 \gt 0\)

  1. 附圖所示為\(\;y=x^2-5x+4\;\)的圖像。

    從圖像可見，二次函數\(\;y=x^2-5x+4\;\)的圖像和\(\;x\;\)軸的交點為\(\;x=1.0, 4.0\)，且開口向上，所以不等式\(\;x^2-5x+4 \geq 0\;\)的解為 \[ x \leq 1.0 ~\hbox{ 或 }~ x \geq 4.0 \] （由於不等號為「≥」，不等式的解包括圖像的兩個\(\;x\;\)軸截距。）

  1. 附圖所示為\(\;y=x^2+x+1\;\)的圖像。

    從圖像可見，二次函數\(\;y=x^2+x+1\;\)的圖像全在\(\;x\;\)軸的上方，所以不等式\(\;x^2+x+1 \leq 0\;\)無解。

  1. 附圖所示為\(\;y=-x^2+5x-3\;\)的圖像。

    從圖像可見，二次函數\(\;y=-x^2+5x-3\;\)的圖像和\(\;x\;\)軸的交點約為\(\;x=0.7, 4.3\)，且開口向下，所以不等式\(\;-x^2+5x-3 \gt 0\;\)的解為 \[ 0.7 \lt x \lt 4.3 \] （由於不等號為「>」，不等式的解不包括圖像的兩個\(\;x\;\)軸截距。）

例子二：以圖解法求解一元二次不等式

考慮二次函數\(\;y = x^2+4x+4\)，以圖解法求解以下不等式：

  1. \(x^2+4x+4 \geq 0\)
  2. \(x^2+4x+4 \gt 0\)
  3. \(x^2+4x+4 \leq 0\)
  4. \(x^2+4x+4 \lt 0\)

附圖所示為\(\;y=x^2+4x+4\;\)的圖像。

二次函數\(\;y=x^2+4x+4\;\)的圖像。
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