解以下不等式，並在數線上表示它們的解：

1. \(x \gt 3\;\)或\(\;x \geq 1\)。
2. \(x \geq -3\;\)或\(\;x \lt 2\)。
3. \(x \leq -1\;\)或\(\;x \geq 1\)。

看解答

1. 讓我們先分別考慮\(\;x\gt 3\;\)及\(\;x\geq 1\;\)的解：

   不等式\(\;x\gt 3\;\)的解。

   不等式\(\;x\geq 1\;\)的解。

   把兩條不等式\(x \gt 3\;\)及\(\;x \geq 1\;\)的解畫在同一條數線上，滿足任何一條不等式的地方（紅色陰影部分所示）都是複合不等式的解：

   複合不等式「\(x \gt 3\;\)或\(\;x \geq 1\)」的解。

   即複合不等式「\(x \gt 3\;\)或\(\;x \geq 1\)」的解為\(\;x\geq 1\)。

   繼續

2. 若把兩條不等式\(\;x\geq -3\;\)及\(\;x\lt 2\;\)的解畫在同一條數線上，會發現任何實數\(\;x\;\)都最少滿足其中一條不等式：

   複合不等式「\(x \geq -3\;\)或\(\;x \lt 2\)」的解。

   即複合不等式「\(x \geq -3\;\)或\(\;x \lt 2\)」的解為所有實數。

   繼續

3. 把兩條不等式\(\;x\leq -1\;\)及\(\;x\geq 1\;\)的解畫在同一條數線上，滿足任何一條不等式的地方（紅色陰影部分所示）都是複合不等式的解：

   複合不等式「\(x \leq -1\;\)或\(\;x \geq 1\)」的解。

   複合不等式「\(x \leq -1\;\)或\(\;x \geq 1\)」的解就是「\(x \leq -1\;\)或\(\;x \geq 1\)」（即題目無法再化簡）。

1. 解以下不等式，並在數線上表示它們的解： \[ \frac{x}{3} - 1 \leq 2x-5 \hbox{ 或 } x - 2 \lt -3x + 3 \]
2. 求滿足上述複合不等式的最小正整數。

看解答

1. 要解這組不等式，我們首先要分別求得每條不等式的解： \begin{align*} \frac{x}{3} - 1 &\leq 2x-5 & x-2 &\lt -3x+3 \\ x - 3 &\leq 6x - 15 & 4x &\lt 5 \\ 12 &\leq 5x & x &\lt \frac{5}{4} \\ x &\geq \frac{12}{5} & x &\lt \frac{5}{4} \end{align*}

   合併以上兩條不等式的解，可得所求複合不等式的解為\(\;\displaystyle x \lt \frac{5}{4}\;\)或\(\;x \geq \frac{12}{5}\)。

2. 從附圖可見，滿足複合不等式 \[ \frac{x}{3} - 1 \leq 2x-5 \hbox{ 或 } x - 2 \lt -3x + 3 \] 的最小正整數為\(\;1\)。

1. 解複合不等式 \[\textstyle ( x-2 \gt 2x-1 \hbox{ 或 } \frac{x+1}{2} - \frac{2x+1}{3} \gt \frac{5x+1}{6} ) \hbox{ 或 } 2(x+1) \leq 3x-1 \]
2. 解複合不等式 \[\textstyle x-2 \gt 2x-1 \hbox{ 或 } ( \frac{x+1}{2} - \frac{2x+1}{3} \gt \frac{5x+1}{6} \hbox{ 或 } 2(x+1) \leq 3x-1 ) \]
3. 這兩條複合不等式的解是否相同？

看解答

1. 解複合不等式 \[\textstyle ( x+1 \geq 2(x+1) \hbox{ 和 } 4-x \lt 2(x-1) ) \hbox{ 或 } \frac{3x+2}{4} \leq x+1 \]
2. 解複合不等式 \[\textstyle x+1 \geq 2(x+1) \hbox{ 和 } ( 4-x \lt 2(x-1) \hbox{ 或 } \frac{3x+2}{4} \leq x+1 ) \]
3. 這兩條複合不等式的解是否相同？

看解答