當多於一條不等式以邏輯符號（通常是「和」、「或」等）連起來，成為一組不等式時，我們稱這組不等式為複合不等式（compound inequalities）。
當多於一條不等式以「和」連起來時，我們要找出能同時滿足所有不等式的\(\;x\;\)值之範圍。
解以下不等式，並在數線上表示它們的解：
讓我們先分別考慮\(\;x\gt 3\;\)及\(\;x\geq 1\;\)的解：
若把這兩條不等式的解畫在同一條數線上，它們重疊的部分（紅色陰影部分所示）便是複合不等式的解：
即複合不等式「\(x \gt 3\;\)和\(\;x \geq 1\)」的解為\(\;x\gt 3\)。
若把兩條不等式\(\;x\geq -3\;\)及\(\;x\lt 2\;\)的解畫在同一條數線上，它們重疊的部分（紅色陰影部分所示）便是複合不等式的解：
即複合不等式「\(x \geq -3\;\)和\(\;x \lt 2\)」的解為\(\;-3 \leq x \lt 2\)。
若把兩條不等式\(\;x\leq -1\;\)及\(\;x\geq 1\;\)的解畫在同一條數線上，會發現它們沒有重疊的部分：
即複合不等式「\(x \leq -1\;\)和\(\;x \geq 1\)」無解。
解以下不等式，並在數線上表示它們的解：
注意「｛」指兩條不等式的共同解，所以題目相當於要解 \[ 3x - 1 \gt 1 \hbox{ 和 } x - 2 \lt -3x + 3 \] 要解這組不等式，我們首先要分別求得每條不等式的解： \begin{align*} 3x - 1 &\gt 1 & x-2 &\lt -3x+3 \\ 3x &\gt 2 & 4x &\lt 5 \\ x &\gt \frac{2}{3} & x &\lt \frac{5}{4} \end{align*}
合併以上兩條不等式的解，可得所求複合不等式的解為\(\;\displaystyle \frac{2}{3} \lt x \lt \frac{5}{4}\)。
本題可改寫成複合不等式 \[ 2(x-1) \leq 2 \hbox{ 和 } 2 \leq 3x+5 \] 我們先分別求得每條不等式的解： \begin{align*} 2(x-1) &\leq 2 & 2 &\leq 3x+5 \\ 2x-2 &\leq 2 & -3 &\leq 3x \\ 2x &\leq 4 & -1 &\leq x \\ x &\leq 2 & x &\geq -1 \end{align*}
合併以上兩條不等式的解，可得所求複合不等式的解為\(\; -1 \leq x \leq 2 \)。
小明要到文具店買\(\;2\;\)塊橡皮擦及最少\(\;5\;\)支原子筆。假設每塊橡皮擦的售價為\(\;\$6\)，而每支原子筆的售價為\(\;\$7\)，若小明有\(\;\$70\)，求小明買到的原子筆之可能數目。
設小明買了\(\;x\;\)支原子筆，我們有 \[ x \geq 5 \hbox{ 和 } 7x + 6(2) \leq 70 \] 不等式\(\;7x + 6(2) \leq 70\;\)的解為 \begin{align*} 7x + 6(2) &\leq 70 \\ 7x &\leq 58 \\ x &\leq \frac{58}{7} \end{align*}
合併以上兩條不等式的解，可知以上複合不等式的解為\(\;\displaystyle 5 \leq x \leq \frac{58}{7}\)。由於原子筆的數目必定是整數，所以小明買到的原子筆數目可能為\(\;5\)、\(6\)、\(7\;\)或\(\;8\)。
我們首先要分別求得每條不等式的解。對第一條不等式，我們有 \begin{align*} x-2 &\lt 2x-1 \\ -1 &\lt x \\ x &\gt -1 \end{align*} 對第二條不等式，我們有 \begin{align*} \frac{x+1}{2} - \frac{2x+1}{3} &\lt \frac{5x+1}{6} \\ 3(x+1)-2(2x+1) &\lt 5x+1 \\ 3x+3-4x-2 &\lt 5x+1 \\ 0 &\lt 4x \\ x &\gt 0 \end{align*} 對第三條不等式，我們有 \begin{align*} 2(x+1) &\geq 3x-1 \\ 2x+2 &\geq 3x-1 \\ 3 &\geq x \\ x &\leq 3 \end{align*}
根據括號的位置，我們應先合併頭兩條不等式，即複合不等式「\(x-2 \lt 2x-1 \hbox{ 和 } \frac{x+1}{2} - \frac{2x+1}{3} \lt \frac{5x+1}{6}\)」，它的解為\(\;x\gt 0\)，將之和最後一條不等式合併，可得題目要求的解為\(\;0\lt x\leq 3\)。下圖為解的圖像。
在第 1. 部分中，我們已計算過三條不等式的解，分別為\(\;x\gt -1\)、\(x\gt 0\;\)及\(\;x\leq 3\)。
根據括號的位置，我們應先合併尾兩條不等式，即複合不等式「\(\frac{x+1}{2} - \frac{2x+1}{3} \lt \frac{5x+1}{6} \hbox{ 和 } 2(x+1) \geq 3x-1\)」，它的解為\(\;0\lt x\leq 3\)，將之和第一條不等式合併，可得題目要求的解為\(\;0\lt x\leq 3\)。下圖為解的圖像。
在附設的模擬模型中，我們將考慮複合不等式 \begin{cases} x \geq a \\ x \geq b \end{cases} 請在兩條不等式之間選擇「和」，然後你可以移動數值滑桿改變系數\(\;a,b\;\)的值，亦可在不等式中選擇不同的不等號，複合不等式的解將在數線中自動顯示出來。本活動的目的是研究涉及「和」的複合不等式何時有解，以及其解的性質。
注意 在選擇「和」時，只有深色的部分才是複合不等式的解，淺色部分則不是。
|
有 |
沒有 |
|
一個有限長的區間 |
一個無限長的區間 |
|
兩個無限長的區間 |
所有實數 |
|
有限個點 |
無解 |
|
有 |
沒有 |
|
一個有限長的區間 |
一個無限長的區間 |
|
兩個無限長的區間 |
所有實數 |
|
有限個點 |
無解 |
|
有 |
沒有 |
|
一個有限長的區間 |
一個無限長的區間 |
|
兩個無限長的區間 |
所有實數 |
|
有限個點 |
無解 |