1. 若方程\(\;x^2+2kx+4k=0\;\)有兩個實根，求\(\;k\;\)值的範圍。
2. 若二次函數\(\;y=kx^2+(1-k)x+k\;\)必定是負數，求\(\;k\;\)值的範圍。

提示

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1. 由於方程\(\;x^2+2kx+4k=0\;\)有兩個實根，這方程的判別式\(\;\Delta \gt 0\)，即 \begin{align*} \Delta = (2k)^2-4(1)(4k) &\gt 0 \\ 4k^2-16k &\gt 0 \\ k^2-4k &\gt 0 \\ k(k-4) &\gt 0 \\ k &\lt 0 && \hbox{或} & k &\gt 4 \end{align*}

   活動 附圖所示為二次函數\(\;y=x^2+2kx+4k\;\)及對應的二次方程之解。你可以移動數值滑桿改變\(\;k\;\)值，並留意實根數目的變化。當\(\;k\;\)值在不等式的解之邊界時，會發生甚麼情況？

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2. 由於函數\(\;y=kx^2+(1-k)x+k\;\)必定是負數，方程\(\;kx^2+(1-k)x+k=0\;\)沒有實根，所以這方程的判別式\(\;\Delta \lt 0\)，即 \begin{align*} \Delta = (1-k)^2-4(k)(k) &\lt 0 \\ 1-2k+k^2-4k^2 &\lt 0 \\ -3k^2-2k+1 &\lt 0 \\ 3k^2+2k-1 &\gt 0 \\ (3k-1)(k+1) &\gt 0 \\ k &\gt \frac{1}{3} && \hbox{或} & k &\lt -1 \end{align*} 另外，由於函數\(\;y=kx^2+(1-k)x+k\;\)必定是負數，我們必有\(\;k\lt 0\)，所以題目要求的\(\;k\;\)值範圍是\(\;k \lt -1\)。

1. 把一條長\(\;50\;{\rm cm}\;\)的鐵支屈曲成一個長方形，而其中一邊長度為\(\;x\;{\rm cm}\)。已知該長方形的面積最少為\(\;150\;{\rm cm}^2\)，求\(\;x\;\)的可能範圍。
2. 若\(\;x\;\)為整數，求該長方形最大的可能面積。

提示

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1. 該長方形的周界為\(\;50\;{\rm cm}\)，其另一邊長為 \[50/2-x=(25-x)\;{\rm cm}\] 所以 \begin{align*} x(25-x) &\geq 150 \\ 25x-x^2 &\geq 150 \\ x^2-25x+150 &\leq 0 \\ (x-10)(x-15) &\leq 0 \\ 10 \leq x &\leq 15 \end{align*}

   繼續

2. 由於\(\;x\;\)是整數，我們可用列表的方式把所有可能的\(\;x\;\)值列出來：

   \(x\)	\(10\)	\(11\)	\(12\)	\(13\)	\(14\)	\(15\)
   另一邊長	\(15\)	\(14\)	\(13\)	\(12\)	\(11\)	\(10\)
   面積	\(150\)	\(154\)	\(168\)	\(168\)	\(154\)	\(150\)

   從上表可知，長方形最大的可能面積為\(\;168\;{\rm cm}^2\)。

   另一個解法

   我們也可利用配方法來收窄範圍。考慮 \begin{align*} \hbox{長方形面積} &= x(25-x) \\ &= 25x-x^2 \\ &= -\left(x^2-2\left(\frac{25}{2}\right)x\right) \\ &= -\left(x^2-2\left(\frac{25}{2}\right)x+\left(\frac{25}{2}\right)^2\right)+\left(\frac{25}{2}\right)^2 \\ &= -\left(x-\frac{25}{2}\right)^2+\left(\frac{25}{2}\right)^2 \end{align*} 所以，若\(\;x\;\)可以是任何實數，最大面積應在\(\;x=\frac{25}{2}=12.5\;\)的時候。現在\(\;x\;\)是整數，所以最大面積時的\(\;x\;\)值應為\(\;12\;\)或\(\;13\)。試算一下可得 \begin{align*} x=12: && \hbox{面積} = 12(25-12) = 168\;{\rm cm}^2 \\ x=13: && \hbox{面積} = 13(25-13) = 168\;{\rm cm}^2 \end{align*} 兩者面積一樣，所以長方形最大的可能面積為\(\;168\;{\rm cm}^2\)。

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附圖所示為一直角三角形，若這三角形斜邊最少長\(\;15\;{\rm cm}\)，求\(\;x\;\)值的可能範圍。

提示

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利用畢氏定理可得 \begin{align*} \sqrt{x^2+(x+3)^2} &\geq 15 \\ x^2+(x+3)^2 &\geq 225 \\ x^2+x^2+6x+9-225 &\geq 0 \\ 2x^2+6x-216 &\geq 0 \\ x^2+3x-108 &\geq 0 \\ (x+12)(x-9) &\geq 0 \\ x &\leq -12~~{\href{javascript:void(0)}{\hbox{（捨去）}}} &&\hbox{或} & x &\geq 9 \end{align*} 所以，我們有\(\;x\geq 9\)。

三角形數（triangular number）是可以寫成\(\;\displaystyle T_n = \frac{n(n+1)}{2}\;\)的數字，其中\(\;n\;\)為正整數。利用這些數目的點在等距的排列下可以砌成一個等邊三角形，若把相鄰的點以直線連起來，則可得如附圖般的圖案。

1. 求\(\;500\;\)以內的最大三角形數。
2. 已知在第\(\;n\;\)個圖案中，直線的數目為\(\;\displaystyle\frac{3n(n-1)}{2}\)。現有\(\;500\;\)個點和\(\;1000\;\)條直線，求可以砌成的最大圖案之\(\;n\;\)值。

提示

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