在上兩課我們已學兩種解二次公式的方法。現在尋求可解任意的二次方程的公式。
二次方程的公式的證明需要配方法。你熟識配方法嗎？
將一個二次數式 \(x^2 \pm 2px\) 寫為一完全平方，我們需加上 \(p^2\) 項。
例如： 考慮| \(x^2 + 6x\) | \(\blacktriangleleft\) |
與 \(x^2 + 2px\) 比較， \(2p = 6\) |
| \(p^2 = 3^2 = 9\) | \(\blacktriangleleft\) |
\(p = 3\) |
| \(\therefore \; x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\) | \(\blacktriangleleft\) |
\(x^2 + 6x + p^2 = x^2 + 6x + 3^2 \) |
利用配方法，我們可以將 \(x^2 + 6x + 11\) 寫為
| \(x^2 + 6x + 11\) | \(= (x^2 + 6x + 9) + 2\) | \(\blacktriangleleft\) |
\(2p = 6， p = 3， p^2 = 9\) |
| \(= (x + 3)^2 + 2\) | \(\blacktriangleleft\) |
\(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\) | |
| \(\therefore \; x^2 + 6x + 11 \) | \(= (x + 3)^2 + 2\) |
現在我們利用配方法來證明二次公式。
考慮一個以一般式表示的二次方程 \(\;ax^2 + bx + c = 0\)，其中 \(a \ne 0\)：
| \(ax^2 + bx + c\) | \(= 0\) | \(\blacktriangleleft\) |
\(x^2\) 的係數是 \(a\)。 |
| \(x^2 + \displaystyle{\frac{b}{a}}x + \displaystyle{\frac{c}{a}}\) | \(= 0\) | \(\blacktriangleleft\) |
把 \(x^2\) 的係數變為 1。 |
| \(x^2 + \displaystyle{\frac{b}{a}}x\) + \(\displaystyle{(\frac{b}{2a})^2}\) | \(= \,\)\(\displaystyle{(\frac{b}{2a})^2}\)\( - \displaystyle{\frac{c}{a}}\) | \(\blacktriangleleft\) |
應用配方法於 \(x^2 + \displaystyle{\frac{b}{a}}x\)， 可得 \(2p = \displaystyle{\frac{b}{a}}, \, p = \displaystyle{\frac{b}{2a}}, \, p^2 = \displaystyle{(\frac{b}{2a})^2}\) |
| \((x + \displaystyle{\frac{b}{2a}})^2\) | \(= \displaystyle{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\) | \(\blacktriangleleft\) |
\(x^2 + \displaystyle{\frac{b}{a}}x + \displaystyle{(\frac{b}{2a})^2} = (x + \displaystyle{\frac{b}{2a}})^2\) |
| \(x + \displaystyle{\frac{b}{2a}}\) | \(= \displaystyle{\frac{\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}\) | \(\blacktriangleleft\) |
在方程的兩方同時取平方根。 |
| \(\therefore \; x \) | \(= \displaystyle{\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}\) | ||
以一般式表示的二次方程的方法 \(ax^2 + bx + c = 0\)，其中 \(a \ne 0\)，它的根可用以下的二次公式求得：
二次公式
\[x = \displaystyle{\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}\]