從 \eqref{eqn12} 可得

\begin{equation} y = x+2 \label{eqn13} \end{equation}

把 \eqref{eqn13} 代入 \eqref{eqn11} 中，可得

\begin{align} x+2 &= x^2+4x+1 \nonumber \\ x^2+3x-1 &= 0 \label{eqn14} \end{align}

二次方程 \eqref{eqn14} 的判別式為

\[\Delta = 3^2-4(1)(-1) = 13 \gt 0 \]

所以，這組聯立方程有兩個實數解。

考慮聯立方程

把 \eqref{eqn22} 代入 \eqref{eqn21} 中，得

\begin{align} x-6 &= x^2-3x-2 \nonumber \\ x^2-4x+4 &= 0 \label{eqn23} \end{align}

二次方程 \eqref{eqn23} 的判別式為

\[\Delta = (-4)^2-4(1)(4) = 0 \]

所以，這組聯立方程只有一個解，即所給定的直線和拋物線只有一個交點。

1. 考慮方程組

   \[\begin{cases} \phantom{y=x^2-4x+k} \\ \phantom{2x-y-2k=0} \end{cases} \quad\quad\quad\quad\quad\]
   \begin{align} & y=x^2-4x+k \label{eqn31} \\ & 2x=y+2k \label{eqn32} \end{align}

   從 \eqref{eqn32} 可得

   \begin{equation} y = 2x-2k \label{eqn33} \end{equation}

   把 \eqref{eqn33} 代入 \eqref{eqn31} 可得

   \begin{align} 2x-2k &= x^2-4x+k \nonumber \\ x^2-6x+3k &= 0 \label{eqn34} \end{align}

   思考 在繼續之前，請思考一下如何利用 \eqref{eqn34} 來求\(\;k\;\)的值。

   繼續

   由於給定的二次曲線和直線只有一個交點，所以二次方程 \eqref{eqn34} 的判別式為零，即

   \begin{align*} \Delta = (-6)^2-4(1)(3k) &= 0 \\ 36-12k &= 0 \\ k &= 3 \end{align*}

   繼續：求交點的坐標

2. 將 1. 求得的\(\;k=3\;\)代入 \eqref{eqn34} 中，可得

   \begin{align*} x^2 - 6x + 3(3)&=0 \\ x &= 3 \hbox{ （重根）} \end{align*}

   最後，將\(\;k=3,x=3\;\)代入 \eqref{eqn33} 中，得\(\;y=2(3)-2(3)=0\)。所以，題目要求的交點為\(\;(x,y)=(3,0)\)。