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  3. 聯立方程的求解
  4. 第二課 聯立方程的代數法
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第二節 直線與二次曲線的交點數目
互動活動：探索拋物線和直線的交點數目

考慮以下聯立方程：

\[\begin{cases} \phantom{y=x^2-2x+1} \\ \phantom{2x-y+k=0} \end{cases} \quad\quad\quad\quad\]
\begin{align} & y=x^2-2x+1 \label{eqn11} \\ & 2x-y+k=0 \label{eqn12} \end{align}

在右面的模擬模型中，藍色曲線是方程\(\;y=a_1x^2+b_1x+c_1\;\)的圖像，而綠色直線是方程\(\;a_2x+b_2y+c_2=0\;\)的圖像。移動數值滑桿來改變係數，圖像所對應的聯立方程的解會自動計算並顯示出來。

我們可看到當\(\;k=-3\;\)時，聯立方程只有一個解，相應地方程的圖像只有一個交點。現在試試改變\(\;k\;\)的值（即模擬模型中數值滑桿\(\;c_2\;\)的值），並觀察解的數目的變化。

  1. 當\(\;k\gt -3\;\)時，聯立方程有
    • 0
    • 1
    • 2
     個解。 
  2. 當\(\;k\lt -3\;\)時，聯立方程有
    • 0
    • 1
    • 2
     個解。 
  3. 你可以找到另一個\(\;k\)，使聯立方程只有一個解嗎？
    • 可以
    • 不可以
     。 

不要忘記，從圖解法中我們可以得到的解都只是近似值，所以有時單靠看圖來讀取交點數目並不可靠。我們可以利用代數方法解釋上述的觀察。

從 \eqref{eqn12} 可得

\begin{equation} y = 2x+k \label{eqn13} \end{equation}

把 \eqref{eqn13} 代入 \eqref{eqn11} 中，得

\begin{align} 2x+k &= x^2-2x+1 \nonumber \\ x^2-4x+(1-k) &= 0 \label{eqn14} \end{align}

二次方程 \eqref{eqn14} 的判別式為

\begin{equation*} \Delta = (-4)^2-4(1)(1-k) = 4k+12 \end{equation*}

所以：

  1. 當\(\;\Delta= 4k+12 \gt 0\)，即\(\;k \gt -3\;\)時，聯立方程有兩個不同的解；
  2. 當\(\;\Delta= 4k+12 = 0\)，即\(\;k = -3\;\)時，聯立方程只有一的解；
  3. 當\(\;\Delta= 4k+12 \lt 0\)，即\(\;k \lt -3\;\)時，聯立方程無實數解。

試試考慮以下聯立方程： 

  1. \(\begin{cases} y=x^2-2x+k \\ 2x-y-3=0 \end{cases}\)

  2. \(\begin{cases} y=x^2-2x+1 \\ kx-y-3=0 \end{cases}\)

  3. \(\begin{cases} y=x^2-kx+1 \\ 2x-y-3=0 \end{cases}\)

移動對應的數值滑桿改變\(\;k\;\)的值，觀察解的數目的變化，並以代數方法解釋你的觀察所得。

探索拋物線和直線的交點數目
第二節：直線與二次曲線的交點數目
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