大家可能都試過以下的情況：在上斜坡時，如果使用「之」字型的路徑會較直線上斜舒適。你知道原因嗎？在這一節，我們將會探討在上斜坡時使用不同路徑的斜率。
在附設的模擬模型中，我們以一斜面\(\;ABFE\;\)來表示斜坡，\(ABDC\;\)是水平面，而\(\;C\;\)和\(\;D\;\)分別是\(\;E\;\)和\(\;F\;\)在水平面上的投影，斜坡和水平面的交角為\(\;\alpha\)。假設我們從斜坡底部\(\;AB\;\)的某一點\(\;P\;\)出發，依直線的路徑走上頂部\(\;EF\;\)的點\(\;Q\)，設\(\;\beta\;\)為路徑\(\;PQ\;\)和\(\;AB\;\)的交角，而\(\;\theta\;\)為\(\;PQ\;\)和水平線的交角，那麼若\(\;\theta\;\)越大，則路徑\(\;PQ\;\)就越陡斜。
你可以在右面的模擬模型中，移動\(\;P\;\)點和\(\;Q\;\)點，並觀察\(\;\theta\;\)的變化。你也可以移動數值滑桿去改變斜坡的斜度，以作進一步的觀察。
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增加 |
減少 |
維持不變 |
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增加 |
減少 |
維持不變 |
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結論相同 |
結論不相同 |
讓我們用數學方法去證明以上的結論。若\(\;S\;\)是在\(\;AB\;\)上使\(\;QS\;\)和\(\;RS\;\)都垂直\(\;AB\;\)的點。我們要找出\(\;\theta = \angle QPR\;\)跟\(\;\alpha = \angle QSR\;\)和\(\;\beta = \angle QPS\;\)之間的關係。
考慮\(\;\triangle QRS\)，可得
\(\begin{equation} \sin\alpha = \sin\angle QSR = \displaystyle{\frac{QR}{QS}} \end{equation}\)
另一方面，考慮\(\;\triangle QPS\;\)可得
\(\begin{equation} \sin\beta = \sin\angle QPS = \displaystyle{\frac{QS}{QP}} \end{equation}\)
最後考慮\(\;\triangle QPR\)，我們有
\(\begin{align*} \sin\theta = \sin\angle QPR &= \frac{QR}{QP} \\ &= \frac{QR}{QS}\times\frac{QR}{QP} \\ &= \sin\alpha\sin\beta \end{align*}\)
即
\begin{equation} \sin\theta = \sin\alpha\sin\beta \label{eqn11} \end{equation}由於\(\;0\leq\sin\beta\leq 1\)，所以我們有
\begin{equation} \sin\theta\leq \sin\alpha \label{eqn12} \end{equation}因為\(\;\theta, \alpha\;\)都在第一區間，所以 \eqref{eqn12} 意味著\(\;\theta\leq\alpha\)。
最後，當\(\;PQ\;\)與\(\;AB\;\)垂直時，我們有\(\;\sin\beta = 1\)。根據 \eqref{eqn11}，這時\(\;\theta\;\)的值最大，它的值是\(\;\alpha\;\)。
此前，我們已學會如何描述在同一水平面上另一點的方位。如果兩點在不同水平面上，描述方法如下：
右圖中，\(O\;\)點和\(\;A\;\)點不在同一水平面。若\(\;A'\;\)點表示\(\;A\;\)點在\(\;O\;\)點的水平面上的投影，則我們以由\(\;O\;\)點測得\(\;A'\;\)點的方位來定義由\(\;O\;\)點測得\(\;A\;\)點的方位。例如，在右圖中由\(\;O\;\)點測得\(\;A\;\)點的方位（以羅盤方位角表示）是 N\(\theta\)E。
在附圖中，\(OC\;\)是一建築物。兩位觀察者\(\;A\;\)和\(\;B\;\)在\(\;O\;\)的同一水平面上。已知\(\;A\;\)和\(\;B\;\)望向塔頂的仰角分別為\(\;40^\circ\;\)和\(\;20^\circ\)，若由\(\;A\;\)測得建築物的方位角為N\(70^\circ\)E，而由\(\;B\;\)測得建築物的方位角為N\(45^\circ\)W，求建築物的高度。（答案須準確至小數點後兩位。）
首先留意圖中有三個三角形，分別是\(\;\Delta AOB\)、\(\Delta AOC\;\)和\(\;\Delta BOC\)。
由於題目所給的資料不足夠去直接解任何一個三角形，我們將利用未知數並建立方程來求解高度。設建築物的高度為\(\;h\;{\rm m}\)。
我們會以\(\;h\;\)表示\(\;\Delta AOB\;\)中每一條邊的長度：
在上一步中，我們以\(\;h\;\)來表示\(\;\Delta AOB\;\)的邊長。現在我們來看看\(\;\Delta AOB\;\)的角度：
\(\angle AOB\;\)是多少度？（只需輸入數值）
最後，我們用餘弦公式來連結\(\;\Delta AOB\;\)的三條邊和\(\;\angle AOB\)，以得到一條關於\(\;h\;\)的方程。
\(\begin{align*} AB^2 &= OA^2 + OB^2 - 2(OA)(OB) \cos \angle AOB \\ 500^2 &= \frac{h^2}{\tan^2 40^\circ} + \frac{h^2}{\tan^2 20^\circ} - 2\left(\frac{h}{\tan 40^\circ}\right)\left(\frac{h}{\tan 20^\circ}\right)\cos 115^\circ \\ 25000 &= h^2\left( \frac{1}{\tan^2 40^\circ} + \frac{1}{\tan^2 20^\circ} - \frac{2\cos115^\circ}{\tan 40^\circ \tan 20^\circ} \right) \\ h^2 &\approx 2130.1105 \\ h &= 46.15 \hbox{（準確至小數點後兩位）} \end{align*}\)
所以，建築物的高度為\(\;46.15\;{\rm m}\)。
甲烷（methane）是簡單的有機化合物，化學式 \(\rm{CH}_4\)，由一個碳原子和四個氫原子組成，在正常室溫和壓力下是氣體。它是天然氣的主要成分，非常易燃，是重要的燃料，也是很多其他有機化合物的製造原料，且在工業上有廣泛的應用。如果想知道更多關於甲烷的基本資料及其化學性質，請參看這裡。
右圖所示為甲烷的立體結構，黑色球表示碳原子（\(\rm{C}\)），而四周白色的球表示氫原子（\(\rm{H}\)）。其中，四個 \(\rm{C}-\rm{H}\) 鍵的長度相等，排成正四面體形狀，四個氫原子為正四面體的頂點，而碳原子則為中心。這個結構在化學上稱為四面體形，如果想知道更多關於分子結構的資料，可參看化學課程中的這一課。
在這一節中，我們將研究這個分子的幾何結構，並找出這個分子中 \(\rm{H}-\rm{C}-\rm{H}\) 鍵的角度。
右圖以幾何方式表示甲烷分子的結構，其中\(\;O\;\)點代表碳原子，其餘四點代表氫原子，它們之間的鍵以黑色實線表示，每個鍵長度相等，而我們想找出的鍵角為\(\;\theta\)。為方便計算，設正四面體的邊長（虛線所示）為\(\;x\)，注意虛線所畫的圖形是個正四面體，所以每條虛線邊長都一樣。
設\(\;P\;\)點為\(\;O\;\)點和\(\;D\;\)點在平面\(\;ABC\;\)上的投影，注意由於圖形是個正四面體，所以\(\;P\;\)點是等邊三角形\(\;ABC\;\)的中心，即\(\;PA=PB=PC\)。你可以按此顯示此步驟的作圖。
我們的第一步是找出\(\;PA\;\)的長度。由於\(\;ABC\;\)是等邊三角形，而\(\;P\;\)是三角形的中心，所以我們有
\(\begin{equation} \alpha = \angle APC = 120^\circ \end{equation}\)
另外，因為\(\;AP = PC\)，我們有\(\;\angle PAC = \angle PCA = 30^\circ\)。根據正弦公式可得
\(\begin{align*} \frac{AP}{\sin 30^\circ} &= \frac{x}{\sin 120^\circ} \\ AP &= \frac{2x}{\sqrt{3}}\times\frac{1}{2} \\ &= \frac{x}{\sqrt{3}} \end{align*}\)
我們的第二步是找出\(\;\beta = \angle ADO\)。考慮直角三角形\(\;ADP\)（按此顯示此步驟的作圖），可得
\(\begin{align*} \sin\beta &= \frac{AP}{AD} \\ &= \frac{x}{\sqrt{3}x} \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \beta &= 35.2644^\circ \end{align*}\)
考慮三角形\(\;\Delta AOD\)，由於\(\;OA=OD\)，所以\(\;\angle OAD=\angle ODA=\beta\)。於是
\(\begin{align*} \theta &= 180^\circ - \angle OAD - \angle ODA \\ &= 180^\circ - 2(35.2644^\circ) \\ &= 109.47^\circ \hbox{ （準確至小數點後兩位）} \end{align*}\)
所以，甲烷中\(\rm{H}-\rm{C}-\rm{H}\) 鍵的角度為\(\;109.47^\circ\)。
以上的解法步驟繁複，以下解法則比較簡短，但不容易看出。這個解的關鍵是留意到\(\;ABCD\;\)四點可以構成一個正方體的四個頂點，\(O\;\)點則是正方體的中心，而且\(\;ABCD\;\)四點中沒有任何兩點在同一條對角線上（按此將右圖轉動至以上所述的位置）。
假設正方體的邊長是\(\;x\)，則它的對角線長度為\(\;\sqrt{3}x\)，而\(\;AD=\sqrt{2}x\)。
因為每個鍵的長度均為對角線的一半，所以\(\;OA=OD=\frac{\sqrt{3}}{2}x\)。根據餘弦定理，我們有
\(\begin{align*} \cos\theta &= \frac{OA^2+OD^2-AD^2}{2(OA)(OD)} \\ &= \frac{\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{4}x^2-2x^2}{2(\frac{3}{4}x^2)} \\ &= -\frac{1}{3} \\ \theta &= 109.47^\circ \hbox{ （準確至小數點後兩位）} \end{align*}\)
所以，甲烷中 \(\rm{H}-\rm{C}-\rm{H}\) 鍵的角度為\(\;109.47^\circ\)。