在上一節，我們學習了一些立體幾何的基本概念。在這一節，我們將利用這些概念以及三角學上的一些定理來計算立體幾何圖形中的角和線段長度。
右圖所示為一長方體。若\(\;AB=3\;{\rm cm}\)、\(\;AC=3\;{\rm cm}\;\)和\(\;AE=2\;{\rm cm}\)，求對角線\(\;BG\;\)的長度和\(\;\angle EBG\)。（答案準確至小數點後兩位）
提示
根據畢氏定理，
\(\begin{align*} BE^2 &= AB^2 + AE^2 \\ BE &= \sqrt{3^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{13} \end{align*}\)
注意\(\;\angle BEG\;\)是直角，再一次利用畢氏定理，可得
\(\begin{align*} BG^2 &= BE^2 + EG^2 \\ BG &= \sqrt{13 + 3^2} \\ &= \sqrt{22} \\ &= 4.69 \hbox{ （準確至小數點後兩位）} \end{align*}\)
即對角線的長度為\(\;4.69\;{\rm cm}\;\)。最後，由三角函數的性質，我們有
\(\begin{align*} \tan\theta &= \frac{EG}{EB} \\ &= \frac{3}{\sqrt{13}} \\ \theta &= 39.76^\circ \hbox{ （準確至小數點後兩位）} \end{align*}\)
右圖所示為一三角錐體，其底部為一等邊三角形，而且錐體的三條棱\(\;PA,PB,PC\;\)的長度相等。若該錐體的底面積為\(\;\sqrt{3}\;{\rm cm}^2\)，棱長為\(\;BP=3\;{\rm cm}\)，求該錐體的高度和頂角\(\;\angle CPD\)。（答案準確至小數點後兩位）
提示
我們首先計算\(\;DB\;\)和\(\;CD\;\)的長度。設該錐體的底邊長為\(\;x\;{\rm cm}\)，則底部三角形的半周長為\(\;\displaystyle \frac{3}{2}x\;{\rm cm}\)，根據希羅公式，我們有
\(\begin{align*} \hbox{底面積} = \sqrt{3} &= \sqrt{\left( \frac{3}{2}x \right)\left( \frac{3}{2}x-x \right)\left( \frac{3}{2}x-x \right)\left( \frac{3}{2}x-x \right)} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 \\ x &= 2 \end{align*}\)
即錐體的底長為\(\;2\;{\rm cm}\)。（你可以按這裡看一個不需要利用希羅公式就可求得底部三角形邊長\(\;x\;\)的方法。）
由於錐體的三條棱長度相等，而且底部又是等邊三角形，所以\(\;\angle CDB, \angle PDB\;\)是直角，而\(\;D\;\)是\(\;AB\;\)的中點，故此\(\;DB=1\;{\rm cm}\)。
接著，考慮直角三角形\(\;\triangle CDB\)，由畢氏定理可知
\(\begin{align*} CD &= \sqrt{BC^2 - BD^2} \\ &= \sqrt{2^2 - 1^2} \\ &= \sqrt{3} \end{align*}\)
考慮\(\;\triangle PAB\)，再利用一次畢氏定理可得
\(\begin{align*} PD &= \sqrt{BP^2 - BD^2} \\ &= \sqrt{3^2 - 1^2} \\ &= 2\sqrt{2} \end{align*}\)
現在考慮\(\;\triangle PCD\;\)，由餘弦公式可得
\(\begin{align*} \cos\theta &= \frac{PC^2 + PD^2 - CD^2}{2(PC)(PD)} \\ &= \frac{3^2 + 8 - 3}{2(3)(2\sqrt{2})} \\ &= \frac{7}{6\sqrt{2}} \\ \theta &= 34.42^\circ \hbox{ （準確至小數點後兩位）} \end{align*}\)
即三角錐體的頂角為\(\;34.42^\circ\)。
繼續考慮\(\;\triangle PCD\)，我們將以兩種方法計算它的面積。首先，它的半周長是\(\;\displaystyle s = \frac{1}{2}(3+\sqrt{3}+\sqrt{8}) \approx 3.7802\)，根據希羅公式，\(\triangle PCD\;\)的面積是
\(\begin{align*} \hbox{面積 } &= \sqrt{(3.7802)(3.7802-3)(3.7802-\sqrt{3})(3.7802-\sqrt{8})} \\ &\approx 2.3979 \end{align*}\)
另一方面，這個三角形的面積也可以這樣計算：
\(\begin{align*} \hbox{面積 } &= \frac{1}{2}(\sqrt{3})(OP) \\ OP &= \frac{2\times 2.3979}{\sqrt{3}} \\ &= 2.77 \hbox{ （準確至小數點後兩位）} \end{align*}\)
所以，這個三角錐體的高是\(\;2.77\;{\rm cm}\)。
思考 在得知底長為\(\;2\;{\rm cm}\;\)後，你能想到其他方法去求\(\;OP\;\)的長度嗎？
右圖所示為一三角柱體，其橫切面為一等腰三角形，它的底長為\(\;AB = 6\;{\rm cm}\)，而高為\(PC = \;4\;{\rm cm}\)。若該柱體的高為\(\;BE=8\;{\rm cm}\)，求直線\(\;BF\;\)的長度及\(\;BF\;\)和平面\(\;ABED\;\)的交角。（答案準確至小數點後兩位）
提示
由於\(\;\Delta ABC\;\)是等腰三角形，所以\(\;P\;\)是\(\;AB\;\)的中點，於是\(\;PB=3\;{\rm cm}\)。根據畢氏定理，
\(\begin{align*} BC &= \sqrt{PB^2 + PC^2} \\ &= \sqrt{3^2+4^2} \\ &= 5 \end{align*}\)
由於\(\;\angle BCF\;\)是直角，再一次利用畢氏定理可得
\(\begin{align*} BF &= \sqrt{BC^2 + CF^2} \\ &= \sqrt{5^2 + 8^2} \\ &= \sqrt{89} \\ &\approx 9.43 \hbox{ （準確至小數點後兩位）} \end{align*}\)
即\(\;BF\;\)的長度為\(\;\sqrt{89}\;{\rm cm}\)。
\(BF\;\)和平面\(\;ABED\;\)的交角是
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\(\angle FBE\) |
\(\angle FBA\) |
\(\angle FBQ\) |
\(\angle FBD\) |
右圖所示為一四角錐體，其底部為一邊長\(\;8\;{\rm cm}\;\)的正方形，而且錐體的四條斜邊\(\;PA,PB,PC,PD\;\)長度相等，均為\(\;9\;{\rm cm}\)，求該錐體的高度及平面\(\;PAD\;\)和\(\;ABCD\;\)的交角。（答案準確至小數點後兩位）
提示
平面\(\;PBC\;\)和\(\;ABCD\;\)的交角是
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\(\angle PAO\) |
\(\angle PEO\) |
\(\angle PAE\) |
\(\angle PDC\) |