對於指數函數 \(\displaystyle{f\left( x \right)={{a}^{x}} }\) (\(\displaystyle{ a \gt 0 }\) 且 \(\displaystyle{ a \ne 1 }\))，自變量 \(\displaystyle{ x }\) 可以是任何實數，因此指數函數的定義域是實數的整體，即所有實數。
根據數學實驗可知，指數函數 \(\displaystyle{f\left( x \right)={{a}^{x}} }\) 的圖像與 \(\displaystyle{ x }\) 軸永不相交，且永遠在 \(\displaystyle{ x }\) 軸的上方，\(\displaystyle{ x }\) 軸是指數函數 \(\displaystyle{f\left( x \right)={{a}^{x}}}\) 的水平漸近線，所以指數函數 \(\displaystyle{f\left( x \right)={{a}^{x}} }\) 的值域為所有大於零的實數。
| \(\displaystyle{ a }\) 的範圍 | \(\displaystyle{ a \gt 1 }\) | \(\displaystyle{ 0 \lt a \lt 1 }\) |
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| 指數函數 \(\displaystyle{y={{a}^{x}} }\) 的圖像 |  |
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| 共同的特性 | 函數的定義域是所有實數，值域是所有大於零的實數。 | |
| 圖像位於 \(\displaystyle{ x }\) 軸上方，與 \(\displaystyle{ x }\) 軸永不相交。 | ||
| 圖像的 \(\displaystyle{ y }\) 軸截距為 \(\displaystyle{1 }\)，即圖像與 \(\displaystyle{ y }\) 軸相交於點 \(\displaystyle{\left( 0,1 \right) }\)。 | ||
| 圖像必過點 \(\displaystyle{\left( -1,\frac{1}{a} \right) }\)、\(\displaystyle{\left( 0,1 \right) }\)、\(\displaystyle{\left( 1,a \right) }\)。 | ||
| 圖像沒有極大值點和極小值點，沒有對稱軸，沒有週期性。 | ||
| 圖像有水平漸近線：\(\displaystyle{ x }\) 軸 | ||
| 不同的特性 | 當 \(\displaystyle{ x }\) 從 \(\displaystyle{ 0 }\) 開始不斷減小，函數圖像愈接近於負 \(\displaystyle{ x }\) 軸，即 \(\displaystyle{ y }\) 值會愈來愈接近 \(\displaystyle{ 0 }\)，但永遠不會等於 \(\displaystyle{ 0 }\)。 | 當 \(\displaystyle{ x }\) 從 \(\displaystyle{ 0 }\) 開始不斷增大，函數圖像愈接近於正 \(\displaystyle{ x }\) 軸，即 \(\displaystyle{ y }\) 值會愈來愈接近 \(\displaystyle{ 0 }\)，但永遠不會等於 \(\displaystyle{ 0 }\)。 |
| 函數圖像從左至右向上傾斜，即當 \(\displaystyle{ x }\) 增加時，函數的值 \(\displaystyle{ y }\) 也增加，該函數是一個遞增的函數。 | 函數圖像從左至右向下傾斜，即當 \(\displaystyle{ x }\) 增加時，函數的值 \(\displaystyle{ y }\) 減少，該函數是一個遞減的函數。 | |
| 當 \(\displaystyle{ x }\) 增加時，函數的值 \(\displaystyle{y }\) 增加的速度愈來愈快，即 \(\displaystyle{ y }\) 的遞增率逐漸增加。 | 當 \(\displaystyle{ x }\) 增加時，函數的值 \(\displaystyle{ y }\) 減少的速度愈來愈慢，即 \(\displaystyle{ y }\) 的遞減率逐漸減少。 | |
當 \(\displaystyle{ a }\) 值愈大時，圖像愈陡峭。 |
當 \(\displaystyle{ a }\) 值愈大時，圖像愈平坦。 |
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如圖所示，四個指數函數的圖像，比較各底的大小，其中 \(\displaystyle{ a }\)， \(\displaystyle{ b }\)， \(\displaystyle{ c }\)， \(\displaystyle{ d }\) 均大於 \(\displaystyle{ 0 }\)，且不等於 \(\displaystyle{ 1 }\)，以下何者是正確的？
解：選擇 (C)。
方法 1：由指數函數的圖像性質可知：
底大於 \(\displaystyle{ 1 }\) 時，函數是一條遞增曲線，且底愈大，圖像愈陡俏，所以 \(\displaystyle{ c \gt d \gt 1 }\)；
底大於 \(\displaystyle{ 0 }\) 小於 \(\displaystyle{ 1 }\) 時，函數是一條遞減曲線，且底愈大，圖像愈平坦，所以 \(\displaystyle{ 0 \lt b \lt a \lt 1 }\)。
方法 2：指數函數 \(\displaystyle{y={{p}^{x}} }\) 與直線 \(\displaystyle{ x = 1 }\) 相交於點 \(\displaystyle{\left( 1,p \right) }\)，所以在 \(\displaystyle{ y }\) 軸右側，圖像從下到上相應的底數由小變大，\(\displaystyle{ b \lt a \lt d \lt c }\)。
方法 3：指數函數 \(\displaystyle{y={{p}^{x}} }\) 與直線 \(\displaystyle{ x = -1 }\) 相交於點 \(\displaystyle{\left( -1,\frac{1}{p} \right) }\)，所以在 \(\displaystyle{ y }\) 軸左側，圖像從下到上相應的底數由大變小，\(\displaystyle{ c \gt d \gt a \gt b }\)。
指數函數的底數與圖像間的關係可總結為： 在 \(\displaystyle{ y }\) 軸右側 「底大圖高」； 在 \(\displaystyle{ y }\) 軸左側 「底大圖低」。