給定兩個或以上的多項式\(\;f_1,\ldots,f_n\)，我們知道它們的 GCD 整除任何一個\(\;f_i\)，而任何一個\(\;f_i\;\)又整除它們的 LCM，所以
兩個或以上的多項式之 GCD 整除它們的 LCM。
如果只有兩個多項式\(\;f\;\)和\(\;g\)，它們就有更進一步的關係。我們將透過以下的活動來探討這個關係。
在附設的模擬模型中，輸入單項式\(\;f=mx^ay^bz^c\;\)和\(\;g=nx^py^qz^r\;\)後，這兩個單項式的 GCD 和 LCM 會被顯示出來。
現在請輸入\(\;f=10x^3y^2z^2\;\)和\(\;g = 6x^2y^2z^3\)，並完成下表，注意當中 GCD 和 LCM 的係數需為正數。
| 係數 | \(x\;\)的幂 | \(y\;\)的幂 | \(z\;\)的幂 | |
|---|---|---|---|---|
| \(f\) | ||||
| \(g\) | ||||
| GCD | ||||
| LCM | ||||
| \(f\times g\) | ||||
| GCD \(\times\) LCM |
現在請在右面的模擬模型中輸入\(\;f=14x^2y^3\;\)和\(\;g = 21x^3yz\)，並完成下表，注意當中 GCD 和 LCM 的係數需為正數。
| 係數 | \(x\;\)的幂 | \(y\;\)的幂 | \(z\;\)的幂 | |
|---|---|---|---|---|
| \(f\) | ||||
| \(g\) | ||||
| GCD | ||||
| LCM | ||||
| \(f\times g\) | ||||
| GCD \(\times\) LCM |
設\(\;f(x)=x^2-1\;\)和\(\;g(x)=x^2-x\)。
兩者的 GCD 是
|
\(x\) |
\(x-1\) |
\(x+1\) |
\(x^2-1\) |
兩者的最小公倍式是
|
\(x(x-1)(x+1)\) |
\((x^2-1)(x^2-x)\) |
|
\(x^4-x\) |
\(x^4-1\) |
\(f(x)\times g(x)\;\)是
|
\(x(x-1)(x+1)\) |
\(x(x-1)^2(x+1)\) |
|
\(x(x-1)(x+1)^2\) |
GCD \(\times\) LCM 是
|
\(x(x-1)(x+1)\) |
\(x(x-1)^2(x+1)\) |
|
\(x(x-1)(x+1)^2\) |
思考 從以上例子中，你能看到甚麼結論嗎？
注意 以上結論對於三個或以上的多項式的 GCD 和 LCM 不成立。你能想出一個例子來說明這件事嗎？