在初中階段，我們已學會整數的最大公因數（GCD / HCF）和最小公倍數（LCM），這些概念也可以套用到多項式中。
公因式的定義和整數的情況一樣：
設\(\;f\;\)和\(\;g\;\)為兩個多項式，如果一多項式\(\;h\;\)同時整除\(\;f\;\)和\(\;g\)，則\(\;h\;\)為\(\;f\;\)和\(\;g\;\)的公因式。
更一般地，如果一多項式\(\;h\;\)同時整除多個多項式\(\;f_1,\ldots,f_k\)，則\(\;h\;\)為\(\;f_1,\ldots,f_k\;\)的公因式。
思考 由於多項式無法比較大小，那麼我們應如何定義多項式的「最大」公因式呢？
讓我們先研究以下例子：
設\(\;f(x)=x^3, g(x)=x^5\)，以下哪些是兩者的公因式？
|
\(1\) |
\(x\) |
\(x^2\) |
|
\(x^3\) |
\(x^4\) |
\(x^5\) |
設\(\;f(x,y)=x^3y^2, g(x,y)=xy^3\)，以下哪些是兩者的公因式？
|
\(x\) |
\(x^2\) |
\(x^3\) |
\(y\) |
|
\(y^2\) |
\(y^3\) |
\(xy\) |
\(x^2y\) |
|
\(xy^2\) |
\(x^2y^2\) |
設\(\;f(x)=(x-1)(x+1)(x-2), g(x)=(x-1)(x-2)(x+2)\)，以下哪些是兩者的公因式？
|
\(1\) |
\(x\) |
\(x-1\) |
\(x-2\) |
|
\(x+1\) |
\(x+2\) |
\((x-1)(x-2)\) |
|
在以上的例子中，你認為哪一些公因式是「最大」公因式？
雖然我們無法比較公因式的大小，但可以比較它們次數的大小。在上面的活動中，我們發現一些公因式的次數比其他的都大，我們可以這特點來作最大公因式的定義。
對兩個或以上的多項式，它們的最大公因式（GCD / HCF）是它們的公因式中次數最高的一個。
在整數時，任何公因數都是最大公因數的因數。在上面的活動中，我們可以觀察到最大公因式都有這個特點：其他公因式都是 GCD 的因式。所以，我們也可以如下方法來定義 GCD：
對兩個或以上的多項式\(\;f_1,\ldots,f_n\)，它們的最大公因式（GCD）\(\;d\;\)是符合以下條件的一個多項式：
這個性質將會是我們計算 GCD 的基礎。