[興倫智能課堂] 多項式的最大公因式和最小公倍式

第二節計算最大公因式的方法

計算最大公因式的方法

我們知道如何用質因數分解的方法去計算整數的 GCD，多項式的 GCD 也能用類似的方法計算。

對應整數的質因數分解，在多項式的情況下可以用因式分解。我們將透過以下一些例子來說明如何用因式分解來計算多項式的 GCD。

例子一（求單項式的 GCD）：求\(\;24x^3y^2z\;\)和\(\;30x^2y^4\;\)的 GCD。

在附設的模擬模型中，選擇 GCD 按鈕，並輸入單項式\(\;f=mx^ay^bz^c\;\)和\(\;g=nx^py^qz^r\)。在輸入\(\;f\;\)和\(\;g\;\)後，這兩個單項式的 GCD 會被顯示出來。現在請拉動數值滑桿輸入\(\;f=24x^3y^2z\;\)和\(\;g=30x^2y^4\)（沒有\(\;z\;\)項即\(\;z\;\)的幂是零），同學們能計算出它們的 GCD 是甚麼嗎？

你可以嘗試拉動數值滑桿改變\(\;g\;\)的係數和不同變數的幂，觀察 GCD 的變化。要怎麼做才能令 GCD 的次數增加？又應怎麼做才能令 GCD 的次數減少？你能令 GCD 的次數增至多於\(\;6\;\)嗎？

回到原來的問題，我們應如何計算\(\;24x^3y^2z\;\)和\(\;30x^2y^4\;\)的 GCD 呢？

提示

第一步：

把兩個單項式對位寫成連乘式，每個變數的處理方法都和質因數相同。

\begin{align*} 24x^3y^2z &= 2^3\times 3 \phantom{ {}\times 5}\times x^3\times y^2\times z \\ 30x^2y^4 &= 2\phantom{ {}^3}\times 3\times 5\times x^2\times y^4 \\ \hline \\ \phantom{GCD} & \phantom{ {}= 2^3\times 3 \times 5\times x^2\times y^2} \\ & \phantom{ {}= 6x^2y^2} \end{align*}

第二步：

對每個共同的質因數，分別取指數最低的一個，對於每個共同的變數，也取指數最低的一個。

\begin{align*} 24x^3y^2z &= 2^3\times \color{red}{3} \phantom{ {}\times 5}\times x^3\times \color{red}{y^2}\times z \\ 30x^2y^4 &= \color{red}{2}\phantom{ {}^3}\times \color{red}{3}\times 5\times \color{red}{x^2}\times y^4 \\ \hline \\ \phantom{GCD} & \phantom{ {}= 2^3\times 3 \times 5\times x^2\times y^2} \\ & \phantom{ {}= 6x^2y^2} \end{align*}

第三步：

把上一步所取的因式寫成連乘式，最後化簡。

\begin{align*} 24x^3y^2z &= 2^3\times \color{red}{3} \phantom{ {}\times 5}\times x^3\times \color{red}{y^2}\times z \\ 30x^2y^4 &= \color{red}{2}\phantom{ {}^3}\times \color{red}{3}\times 5\times \color{red}{x^2}\times y^4 \\ \hline \\ {\rm GCD} &= 2\phantom{ {}^3}\times 3 \phantom{ {}\times 5}\times x^2\times y^2 \\ &= 6x^2y^2 \end{align*}

上一步下一步

單項式的 GCD 和 LCM

例子二：用因式分解求 GCD 例子三：二元多項式的 GCD

延伸資料：輾轉相除法

活動 —— 最大公因式是唯一的嗎？

首先請找出以下哪些是\(\;x^2-5x+6\;\)和\(\;x^3+2x^2-5x-6\;\)的公因式：

\(1\)	\(x+1\)	\(x-2\)
\(2-x\)	\(x+3\)

你能找到次數高於\(\;1\;\)的公因式嗎？
- 能
- 不能
。

從以上活動可見，這兩個多項式有多於一個次數最高的公因式，那麼何者才是最大公因式（GCD）？

在這個情形下，\(x-2\;\)和\(\;2-x\;\)都符合 GCD 的定義，因此它們都是 GCD。換句話說，GCD 可以多於一個：事實上，對於任何兩個或以上的多項式，若\(\;d(x)\;\)是它們的 GCD，則對於任何非零標量\(\;s\in \mathbb{R}/\{0\}\)，\(sd(x)\;\)也是它們的 GCD；所以如果不考慮標量就難以討論 GCD 的唯一性。