當被觀察的物件位於我們上方時，視線與水平線的交角稱為仰角；而當被觀察的物件位於我們下方時，視線與水平線的交角稱為俯角。
在附設的模擬模型中，虛線是平行於雀鳥眼睛的水平線，而橙色箭咀為視線的方向。你可以移動\(\;A\;\)點，看看\(\;A\;\)點在不同位置時，仰角和俯角有何變化。你也可以保持\(\;A\;\)點不變，移動小鳥的位置，並看看在觀察者移動時，仰角和俯角的變化。
最大的仰角可以有多少度？
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\(45^\circ\) |
\(90^\circ\) |
\(180^\circ\) |
\(360^\circ\) |
最大的俯角可以有多少度？
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\(45^\circ\) |
\(90^\circ\) |
\(180^\circ\) |
\(360^\circ\) |
若我們按平行於水平線的方向將\(\;A\;\)點移近小鳥，則仰角（或俯角）
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增加 |
減少 |
沒有改變 |
反之，若我們按平行於水平線的方向將\(\;A\;\)點移離小鳥，則仰角（或俯角）
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增加 |
減少 |
沒有改變 |
例子：從一座\(\;60\;\)米高的大廈地下望向山頂，仰角是\(\;40^\circ\)。若走到大廈的天台望向山頂，則仰角是\(\;30^\circ\)。求
（如有需要，答案須準確至小數點後兩位。）
首先考慮\(\;\angle BAD = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\)，及\(\;\angle ABD = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ\)，所以
\begin{align*} \angle BDA &= 180^\circ - 50^\circ - 120^\circ \\ &= 10^\circ \end{align*}根據正弦定理，我們有
\begin{align*} \frac{BA}{\sin\angle BDA} &= \frac{AD}{\sin\angle ABD} \\ AD &= \frac{60\times \sin10^\circ}{\sin 120^\circ} \\ &\approx 299.2345 \\ &= 299.23 \hbox{ （準確至小數點後兩位）} \end{align*}因此，考慮\(\;\Delta ACD\)，
\begin{align*} AC &= AD \cos 40^\circ = (299.2345)\cos 40^\circ = 229.23 \hbox{ （準確至小數點後兩位）} \\ CD &= AD \sin 40^\circ = (299.2345)\sin 40^\circ = 192.34 \hbox{ （準確至小數點後兩位）} \end{align*}即大廈與山頂的水平距離為\(\;229.23\;\)米，而山的高度為\(\;192.34\;\)米。
令\(\;B\;\)點往水平方向延長，並與\(\;CD\;\)相交於\(\;E\;\)點。考慮\(\;\Delta BED\;\)及\(\;\Delta ACD\;\)可得
\begin{align} \tan 30^\circ &= \frac{ED}{BE} = \frac{CD - 60}{AC} \nonumber \\ CD &= AC\tan 30^\circ + 60 \label{eqn1} \end{align}和
\begin{align} \tan 40^\circ &= \frac{CD}{AC} \nonumber \\ CD &= AC\tan 40^\circ \label{eqn2} \end{align}把 \eqref{eqn2} 代入 \eqref{eqn1} 中，可得
\begin{align*} AC\tan 40^\circ &= AC\tan 30^\circ + 60 \\ AC (\tan40^\circ - \tan30^\circ) &= 60 \\ AC &= \frac{60}{\tan40^\circ - \tan30^\circ} \\ &\approx 229.2269 \\ &= 229.23 \hbox{ （準確至小數點後兩位）} \end{align*}代入\(\;AC = 229.2269\;\)到 \eqref{eqn2} 中，可得
\begin{align*} CD &= (229.2269)\tan40^\circ \\ &= 192.34 \hbox{ （準確至小數點後兩位）} \end{align*}即大廈與山頂的水平距離為\(\;229.23\;\)米，而山的高度為\(\;192.34\;\)米。
