[興倫智能課堂] 解可變換為二次方程的方程

第一節可變換為二次方程的應用

可變換為二次方程的應用

在上一節中，我們學會了求解可變換為二次方程的方程。本節我們會看看這些方程在日常生活中的應用。

如要重溫運用方程來解決應用題的步驟，請按此。

圖中，\(ACB\;\)是一半圓，其半徑為\(\;1\)，\(\;AODB\;\)在同一直線上，而\(\;CD\perp AB\)。\(C\;\)點可以在第一象限內的圓弧上自由移動。

設\(\;\angle CAB = \theta\)，則不難證明\(\;\angle COB= 2\theta\)。以下我們將逐步推導三角學上的餘弦二倍角公式（double angle formula）。為簡單起見，我們假設\(\;0^\circ \leq \theta \lt 45^\circ\)。

先考慮\(\;\triangle COD\)，從基礎三角學可知：
1. \(CD\;\)的長度為
  - cos
  - sin
  - tan
  - 0
  - θ
  - 2θ
2. \(OD\;\)的長度為
  - cos
  - sin
  - tan
  - 0
  - θ
  - 2θ

由此可知，\(\;AD\;\)的長度是

\(1+2\cos\theta\)

\(\cos{\theta}\)

\(1+\cos{2\theta}\)

而斜邊\(\;AC\;\)的長度是

\(2+2\cos\theta\)

\(2\cos\theta\)

\(\sqrt{1+\cos\theta}\)

考慮\(\;\triangle ACD\)，我們有\(\;\cos\theta=\)

\(\displaystyle \sqrt{\frac{1+\cos2\theta}{2}}\)

\(\displaystyle \frac{\sqrt{1+\cos2\theta}}{2}\)

\(\displaystyle \frac{1+\cos2\theta}{2}\)

根據以上計算，再將\(\;\cos2\theta\;\)變換為主項，可得二次式

\(\cos2\theta=\phantom{}\) \(\;\cos^2\theta+\phantom{}\) \(\;\cos\theta+\phantom{}\)

我們從以上活動中證明了當\(\;0^\circ \leq \theta \lt 45^\circ\;\)時，我們有：
\[\cos2\theta = 2\cos^2\theta-1\]
事實上，這公式對所有\(\;\theta\;\)都成立，這就是餘弦二倍角公式。

實例一的圖像。

我們來看看二倍角公式和二次方程的關係：利用二倍角公式，求\(\;\cos 15^\circ\)。

提示

設\(\;\theta=15^\circ\)，則\(\;\cos2\theta = \cos 30^\circ = \sqrt{3}/2\)。根據二倍角公式可得

\begin{align*} \sqrt{3}/2 &= 2\cos^2\theta-1 \\ 4\cos^2\theta - (2+\sqrt{3}) &= 0 \\ \cos^2\theta = \frac{2+\sqrt{3}}{4} \\ \cos\theta = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} \hbox{ 或 } -\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} {\href{javascript:void(0);}{\hbox{ （捨去）}}} \end{align*}

即\(\;\displaystyle \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\)。

注意考慮

\[(1+\sqrt{3})^2 = 1+2\sqrt{3}+3 = 4+2\sqrt{3} = 2(2+\sqrt{3}) \]

所以\(\;\sqrt{2+\sqrt{3}}=(1+\sqrt{3})/\sqrt{2}\)，於是\(\;\cos15^\circ\;\)也可表示成

\[\cos15^\circ = \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\]

某划艇隊首先順流划\(\;20\;\)公里到目的地，然後再逆流划回原來出發的地方。若該划艇隊全程用了\(\;7\;\)小時，而水流的速度為\(\;3\;\)公里每小時，求該隊在水流靜止時的划艇速度。

提示

設該划艇隊在水流靜止速度為\(\;x\;\)公里每小時，則

該隊去程時所花的時間為\(\;\displaystyle \frac{20}{x+3} \;\)小時；而
該隊回程時所花的時間為\(\;\displaystyle \frac{20}{x-3} \;\)小時。

因此我們有

\begin{align*} \frac{20}{x+3} + \frac{20}{x-3} &= 7 \\ \frac{20(x-3)+20(x+3)-7(x+3)(x-3)}{(x+3)(x-3)} &= 0 \\ \frac{-7x^2+40x+63}{(x+3)(x-3)} &= 0 \\ 7x^2-40x-63 &= 0 \\ (7x+9)(x-7) &= 0 \\ x=-\frac{9}{7} \;\;{\href{javascript:void(0);}{\hbox{（捨去）}}} \hbox{ 或 } x &= 7 \end{align*}

所以該隊的划艇速度為\(\;7\;\)公里每小時。

數學實驗

在附設的模擬模型中，藍色曲線顯示在水流速度不變的情況下，划艇速度和全行程總需時間之間的關係。試移動數值滑桿，並觀察各數值之間的關係。

划艇速度和全行程總需時間之間的關係。

某種細胞每小時會分裂一次，分裂後其數目會倍增。某科學家在培液中放置了一個細胞，隔一段時間後，他再在相同的地方多放三個細胞。再隔了相同的時間，科學家觀察到細胞的數目為\(\;88\;\)個，該科學家在兩次放置細胞之間相隔了多久？

提示

設科學家在兩次放置細胞之間相隔了\(\;x\;\)小時。那麼，在科學家最後作觀察的時候：

開始時放置的細胞已過了\(\;2x\;\)小時；而
第二次所放置的細胞則過了\(\;x\;\)小時。

因此我們有

\begin{align*} 2^{2x} + 3\cdot 2^x &= 88 \\ (2^x)^2 + 3\cdot 2^x - 88 &= 0 \\ \end{align*}

設\(\;u=2^x\)，則

\begin{align*} u^2+3u-88 &= 0 \\ (u-8)(u+11) &= 0 \\ u = 8 \hbox{ 或 } u &= -11 \end{align*}

由於\(\;u=2^x\)，所以

\begin{align*} 2^x &= 8 \ \ \hbox{ 或 } \ \ 2^x = -11 \;\;{\href{javascript:void(0);}{\hbox{（捨去）}}} \\ x &= 3 \end{align*}

即科學家放置細胞的間隔為\(\;3\;\)小時。