設小美現在的年齡為\(\;x\;\)歲，又設小美爸爸現在的年齡為\(\;y\;\)歲。明年，小美的年齡是爸爸的三分之一，所以

\begin{align} (y+1) &= 3(x+1) \nonumber \\ y &= 3x+3-1 \nonumber \\ y &= 3x+2 \label{eqn11} \end{align}

兩年前，她和爸爸年齡的積為\(\;360\)，所以

\begin{align} (x-2)(y-2) &= 360 \label{eqn12} \end{align}

將 \eqref{eqn11} 代入 \eqref{eqn12}，可得

\begin{align*} (x-2)(3x+2-2) &= 360 \\ (x-2)(3x)-360 &= 0 \\ 3x^2-6x-360 &= 0 \\ x^2 - 2x - 120 &= 0 \\ (x+10)(x-12) &= 0 \\ x = -10 \hbox{ 或 } 12 \end{align*}

由於年齡不可能是負數，我們要把\(\;x=-10\;\)捨去。把\(\;x=12\;\)代入 \eqref{eqn11}，可得\(\;y=3(12)+2=38\)。

所以，小美的年齡是\(\;12\;\)歲，而爸爸的年齡是\(\;38\;\)歲。

注意

• 設定未知數的方式不只一種，例如，你也可以設爸爸現在的年齡為\(\;x\)，而小美現在的年齡為\(\;y\)。
• 和之前一樣，解這些方程的方法不只一種。你可以試試用其他方法去解這題目。

設\(\;N\;\)的十位數和個位數分別為\(\;x\;\)和\(\;y\)，則\(\;N=10x+y\)。因為\(\;N\;\)是其十位數的平方的三倍，我們有

\begin{align} 3x^2 &= 10x+y \nonumber \\ y &= 3x^2-10x \label{eqn21} \end{align}

若把\(\;N\;\)的個位數和十位數對調，所得的數比\(\;N\;\)大\(\;36\)，所以

\begin{align} (10y+x) &= (10x+y)+36 \nonumber \\ 9y-9x-36 &= 0 \nonumber \\ y-x-4 &= 0 \nonumber \\ y &= x+4 \label{eqn22} \end{align}

將 \eqref{eqn22} 代入 \eqref{eqn21} 中，可得

\begin{align*} x+4 &= 3x^2-10x \\ 3x^2-11x-4 &= 0 \\ (3x+1)(x-4) &= 0 \\ x &= -\frac{1}{3} \hbox{ 或 } 4 \end{align*}

由於\(\;x\;\)必是整數，我們要把\(\;\displaystyle x=-\frac{1}{3}\;\)捨去。把\(\;x=4\;\)代入 \eqref{eqn22}，可得\(\;y=4+4=8\)。

所以，該兩位數\(\;N\;\)是\(\;48\)。

設大正方形和小正方形的邊長分別為\(\;x\;\)和\(\;y\)。它們的邊長相差\(\;7\)，所以

\begin{align} x-y &= 7 \nonumber \\ x &= y+7 \label{eqn31} \end{align}

又因為圖形的總面積為\(\;137\)，所以

\begin{align} x^2+y^2 = 137 \label{eqn32} \end{align}

將 \eqref{eqn31} 代入 \eqref{eqn32}，可得

\begin{align*} (y+7)^2+y^2 &= 137 \\ 2y^2+14y+49-137 &= 0 \\ y^2+7y-44 &= 0 \\ (y+11)(y-4) &= 0 \\ y &= -11 \hbox{ 或 } 4 \end{align*}

由於邊長不可能是負數，我們要把\(\;y=-11\;\)捨去。把\(\;y=4\;\)代入 \eqref{eqn31}，可得\(\;x=4+7=11\)。

所以，該圖形的周界為 \[3x+3y+7 = 3(11)+3(4)+7 = 52 \]

注意

• 除了利用聯立方程之外，這一題亦能用二次方程的方法去求解，請試試用二次方程去解這題目。