有理函數（rational function，又稱代數分式）是兩個多項式相除所得的函數，它可被寫成\(\;\displaystyle \frac{P}{Q}\;\)的形式，當中\(\;P,Q\;\)均為多項式，而\(\;Q\neq 0\)。
例如：\(\displaystyle \frac{1}{x+1}\)、\(\displaystyle \frac{x-1}{x^2+3x+4}\)、\(\displaystyle \frac{x^3-1}{x-1}\)、\(\displaystyle \frac{2x-y}{3x+4y-1}\;\)等等，都是有理函數。
請在附設的模擬模型中，移動數值滑桿來改變有理函數\(\;\displaystyle y=\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}\;\)的係數，並觀察多項式圖像的變化。
在右圖中，紅點和綠點所示的分別為有理函數\(\;y\;\)的\(\;x\;\)軸和\(\;y\;\)軸截距。
另外，紅色虛線是函數\(\;y\;\)的水平漸近線，而綠色虛線則是函數\(\;y\;\)的垂直漸近線。
首先，請在附設的模擬模型中，輸入函數\(\;\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-1}\)，並仔細觀察該函數的圖像。
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\(f(x)\;\)的值域包含全部實數嗎？ |
是 否 |
| \(f(x)\;\)的值域不包含以下哪個數？（注意） | |
從\(\;f(x)\;\)的圖像可以看出，它的值域就是\(\;x\neq 0\)。
現在，請輸入函數\(\;\displaystyle g(x)=\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}\)，並仔細觀察該函數的圖像。
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\(g(x)\;\)的值域包含全部實數嗎？ |
是 否 |
| \(g(x)\;\)的值域不包含以下哪個數？（注意） | |
現在，請輸入函數\(\;\displaystyle h(x)=\frac{x^2+x+1}{2x-1}\)，並仔細觀察該函數的圖像。
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\(h(x)\;\)的值域包含全部實數嗎？ |
是 否 |
要找出函數\(\;h(x)\;\)的值域並不容易。事實上，它的值域是\(\;x < \Large{\frac{1}{2}}\) \((1-\sqrt{7})\;\)及\(\;x > \Large{\frac{1}{2}}\) \((1+\sqrt{7})\)。
請在附設的模擬模型中，分別輸入函數\(\;\displaystyle f(x)=x-2\;\)和\(\;\displaystyle g(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}\)，並仔細觀察該兩函數的圖像。
事實上，如果\(\;x\neq 2\)，我們有 \[\displaystyle g(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2=f(x)\] 所以函數\(\;f(x)\;\)和\(\;g(x)\;\)在兩者皆有定義的地方均相等。不過，這兩個函數的定義域並不相同，所以不是相同的函數。在新高中課程中，我們沒有需要分辨這兩個函數，而在化簡有理函數的過程中，這兩個函數會被當成相等。
