定義域 (domain)：函數的自變量 \(\displaystyle{ x }\) 所有可取值構成的整體。\(\displaystyle{ x }\) 的取值範圍不可以超出定義域的範圍。
值域 (range)：對應於定義域範圍內的自變量 \(\displaystyle{ x }\)，函數的應變量 \(\displaystyle{ y }\) 所有可取值的範圍。定義域上的每個元素都準確對應於其值域上的唯一一個元素。值域範圍依賴於函數的定義域範圍。
上域 (co-domain)：函數的應變量 \(\displaystyle{ y }\) 的考慮範圍。它是一個必須包含值域的整體，上域比值域的範圍大或正好相同。
例如：函數 \(\displaystyle{ y=ax+b }\) (\(\displaystyle{ a,b }\) 為實數，\(\displaystyle{a\ne 0 }\)) 的定義域和值域都是所有實數；函數 \(\displaystyle{y=\sqrt{x} }\) 的定義域為所有非負實數 (負數沒有平方根)，值域也是所有非負實數；函數 \(\displaystyle{y=\frac{1}{x-a} }\) (\(\displaystyle{ a }\) 為實數) 的定義域為 \(\displaystyle{ a }\) 以外的所有實數 (除數不為零)，值域為非零的所有實數。
下列各圖代表 \(\displaystyle{ x }\) 與 \(\displaystyle{ y }\) 的關係。試判斷 \(\displaystyle{ y }\) 是不是 \(\displaystyle{ x }\) 的函數。如果是，寫出其定義域、值域和上域。
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| \(\displaystyle{ x }\) 與 \(\displaystyle{ y }\) 的關係 | \(\displaystyle{ y }\) 是 \(\displaystyle{ x }\) 的函數嗎？ | 定義域 | 值 域 | 上域 |
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是 | \(\displaystyle{\left\{ 1,2,3,4 \right\} }\) | \(\displaystyle{\left\{ 1,2,4 \right\} }\) | \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4 \right\} }\) |
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不是，因為定義域中的元素 「3」 沒有相對應的 \(\displaystyle{ y }\) 值 | |||
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是 | \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4 \right\} }\) | \(\displaystyle{ \left\{ 10,20,30,40 \right\} }\) | \(\displaystyle{ \left\{ 10,20,30,40 \right\} }\) |
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是 | \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4 \right\} }\) | \(\displaystyle{ \left\{ 5 \right\} }\) | \(\displaystyle{ \left\{ 5 \right\} }\) |
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不是，因為定義域中的元素對應的 \(\displaystyle{ y }\) 值不唯一 |
思考：爲甚麽需要值域又需要上域呢？
值域精確描述了定義域中所有 \(\displaystyle{ x }\) 所對應的 \(\displaystyle{ y }\) 值，既不能遺漏一個 \(\displaystyle{ y }\)，也不能多出一個 \(\displaystyle{ y }\)；而上域可以不必這麼精確，它不能遺漏一個 \(\displaystyle{ y }\)，但是可以多出一些 \(\displaystyle{ y }\)。
有些時候，精確交待應變量的範圍 (即值域) 是很麻煩或是不必要的，這時可以用一個更大的範圍 (即上域) 來描述一個函數應變量的取值範圍。