函數 (function) 是數學的一個基本概念，用以表示兩個變量之間的特殊關係，其中一個變量叫作自變量，另一個變量叫做應變量。對於自變量的每一個值，應變量都有一個且只有一個對應值。
從有序對 \(\displaystyle{ \left( x,y \right) }\) 的角度來看，函數這種關係不存在兩個不同的有序對的第一個變量相同之情況。
自變量：常用 \(\displaystyle{ x }\) 表示，對應於有序對 \(\displaystyle{ \left( x,y \right) }\) 的第一個變量，可以獨立變化。
應變量（也作因變量）：常用 \(\displaystyle{ y }\) 表示，對應於有序對 \(\displaystyle{ \left( x,y \right) }\) 的第二個變量，它的變化取決於自變量 \(\displaystyle{ x }\) 的變化，它不可以獨立變化。
關係可以用有序對 \(\displaystyle{ \left( x,y \right) }\) 表示，分為四類 (一對一、多對一、一對多、多對多)，根據函數的定義和特性，判斷哪類關係表示了 \(\displaystyle{ y }\) 是 \(\displaystyle{ x }\) 的函數呢？
若 \(\displaystyle{ y }\) 是 \(\displaystyle{ x }\) 的函數，那麼 \(\displaystyle{ x }\) 是否必然為 \(\displaystyle{ y }\) 的函數？
解：否。
函數可以是一對一和多對一的關係。
如果函數 \(\displaystyle{ \left( x,y \right) }\) 是一對一的關係，那麼有序對 \(\displaystyle{ \left( y,x \right) }\) 也是一對一的關係，\(\displaystyle{ x }\) 也是 \(\displaystyle{ y }\) 的函數；
如果函數 \(\displaystyle{ \left( x,y \right) }\) 是多對一的關係，那麼有序對 \(\displaystyle{ \left( y,x \right) }\) 則是一對多的關係，\(\displaystyle{ x }\) 就不是 \(\displaystyle{ y }\) 的函數。
判定下列有序對 \(\displaystyle{ \left( x,y \right) }\) 或表達式表示的關係，\(\displaystyle{ y }\) 是否為 \(\displaystyle{ x }\) 的函數。
有序對 \(\displaystyle{ \left( x,y \right) }\)：\(\displaystyle{\left\{ \left( 1,4 \right),\left( 2,6 \right),\left( 3,8 \right),\left( 3,9 \right),\left( 4,10 \right) \right\} }\)
有序對 \(\displaystyle{ \left( x,y \right) }\)：\(\displaystyle{\left\{ \left( 1,2 \right),\left( 2,3 \right),\left( 3,4 \right),\left( 4,5 \right),\left( 5,6 \right),\left( 6,7 \right),\left( 7,1 \right) \right\} }\)
\(\displaystyle{ y=2x+3 }\)
\(\displaystyle{ {{y}^{2}}=x }\)
\(\displaystyle{ y=3 }\)
\(\displaystyle{ x=3 }\)
解：
(1) \(\displaystyle{ y }\) 不是 \(\displaystyle{ x }\) 的函數。因為兩個不同的有序對 \(\displaystyle{\left( 3,8 \right) }\) 和 \(\displaystyle{ \left( 3,9 \right) }\) 之第一個變量相同。
(2) \(\displaystyle{ y }\) 是 \(\displaystyle{ x }\) 的函數。不存在兩個不同的有序對的第一個變量相同之情況。
(3) \(\displaystyle{ y }\) 是 \(\displaystyle{ x }\) 的函數。對於每一個 \(\displaystyle{ x }\) 值，都有一個且只有一個 \(\displaystyle{ y }\) 值 （等於 \(\displaystyle{ 2x+3 }\) ） 與其對應。
(4) \(\displaystyle{ y }\) 不是 \(\displaystyle{ x }\) 的函數。當 \(\displaystyle{x=a\left( a \gt 0 \right) }\) 時，\(\displaystyle{y=\sqrt{a} }\) 或 \(\displaystyle{y=-\sqrt{a} }\)，即有多於一個對應的 \(\displaystyle{ y }\) 值，所以 \(\displaystyle{ y }\) 不是 \(\displaystyle{ x }\) 的函數。
(5) \(\displaystyle{ y }\) 是 \(\displaystyle{ x }\) 的函數。\(\displaystyle{ y=3 }\) 可以視為 \(\displaystyle{y=0\cdot x+3 }\)，對於每一個 \(\displaystyle{ x }\) 值，都有一個且只有一個 \(\displaystyle{ y }\) 值（等於 \(\displaystyle{ 3 }\)）與其對應。這是一個常值函數。
(6) \(\displaystyle{ y }\) 不是 \(\displaystyle{ x }\) 的函數。\(\displaystyle{ x=3 }\) 可以視為 \(\displaystyle{x=0\cdot y+3 }\)，對於每一個 \(\displaystyle{ x }\) 值(只有一個值 \(\displaystyle{ 3 }\))，都有無數個 \(\displaystyle{ y }\) 值與其對應，所以 \(\displaystyle{ y }\) 不是 \(\displaystyle{ x }\) 的函數。