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  4. 第二課 二項式定理
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第一節 展開二項式

對於二項式\(\;a+b\)，及非負整數\(\;n\)，\( (a+b)^n\;\)的展式，都遵循一些特別的規律。我們就先看看\(\;n\;\)比較小的例子，\( (a+b)^0=1\)，\( (a+b)^1=a+b\)。從\(\;n=2\;\)開始，則需要使用多項式乘法展開。

\(\;n\;\)比較小的例子

同學有發現甚麼規律嗎？

展式有\(\;n+1\;\)項，每一項都形如\(\;a^{n-r}b^{r}\)，其中\(\;r=1,2,\cdots,n\)，則對於\(\;a\;\)和\(\;b\;\)的總次數都是\(\;n\)。

更細緻的觀察：\(\;a^{n-r}b^{r}\;\)項的係數就是組合數\(\;\color{purple}{C^n_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}}\)。

沒錯，這個規律就是二項式定理，組合數也因此叫作二項式係數。我們總結如下：

對於一般\(\;n\;\)的二項展式

對於一般\(\;n\;\)的二項展式

\begin{align*} (a+b)^n=C^n_0 a^{n}+C^n_1 a^{n-1}b+\cdots+C^n_{n-1} ab^{n-1}+C^n_n b^n。 \end{align*}

使用\(\;\Sigma\;\)記法就是\[ (a+b)^n=\sum_{r=0}^n C^n_r a^{n-r}b^r。\]

我們利用數數的方法來計算\(\; (a+b)^n\;\)的展式：

考慮\(\; (a+b)^n=\overbrace{(a+b)(a+b)\cdots (a+b)}^{n \mbox{ 個}} \)。

在\(\;n\;\)個括號中任選\(\;a\;\)或\(\;b\;\)都會貢獻最後的乘積的其中一項，這些部分對於\(\;a\;\)和\(\;b\;\)的總次數都是\(\;n\)。

我們不妨把\(\; (a+b)^n\;\)寫作\(\; \displaystyle{\sum_{r=0}^n c_r a^{n-r}b^r}\)，然後計算係數\(\;c_0,c_1,\cdots,c_n\)。

對於\(\;r=0,1,\cdots,n\)，\(a^{n-r}b^r\;\)在\(\; (a+b)^n\;\)的展式的係數等於在\(\;n\;\)個括號中選\(\;n-r\;\)個\(\;a\;\)和\(\;r\;\)個\(\;b\)，所以\(\;{c_r=C^n_r}\)。

因此，\( \displaystyle{(a+b)^n=\sum_{r=0}^n C^n_r a^{n-r}b^r}\)。

顯然，我們也可以這樣寫：\[ (a+b)^n=(b+a)^n=\sum_{r=0}^n C^n_r a^{r}b^{n-r}。\]

一個常用的特例是當二項式的其中一項是個常數：\[ (1+x)^n=\sum_{r=0}^n C^n_r x^{r}。\]

當然，我們也可以這樣寫：\[ (1+x)^n=(x+1)^n=\sum_{r=0}^n C^n_r x^{n-r}。\]

楊輝三角形(Pascal's triangle)

實際使用二項式定理計算\(\; (a+b)^n\;\)時，需要計算二項式係數。

一個有效的方法是構作楊輝三角形(Pascal's triangle)：在三角形左右兩邊盡填\(\;1\)，其它數字可由其上行兩鄰相加獲得。

則第\(\;n+1\;\)行正好對應於二項式係數\(\;C^n_0,C^n_1,\cdots,C^n_n\)。

計算是基於二項式係數的特性：對於整數
\(\;1\leq r\leq n\)，\(C^{n-1}_{r}+C^{n-1}_{r-1} = C^n_r\)。

更多的例子

例子一：

按\(\;x\;\)的上升序，展開\(\; (1+2x)^{10}\;\)至\(\;x^5\;\)項。

\begin{align*} & (1+2x)^{10}\\ =& \sum_{i=0}^{10}C^{10}_i(2x)^{10-i}\\ =& 1+10(2x)+45(2x)^2+120(2x)^3+210(2x)^4+252(2x)^5+\cdots\\ =& 1+20x+180x^2+960x^3+3360x^4+8064x^5+\cdots \end{align*}

例子二：

按\(\;x\;\)的下降序，展開\(\; \displaystyle{(x-\frac{1}{3})^{9}}\;\)至\(\;x^5\;\)項。

\begin{align*} & (x-\frac{1}{3})^{9}\\ =& \sum_{i=0}^{9}C^{9}_ix^{9-i}\left(\frac{1}{3}\right)^{i}\\ =& x^9+9x^8\left(\frac{1}{3}\right)+36x^7\left(\frac{1}{3}\right)^2+84x^6\left(\frac{1}{3}\right)^3+126x^5\left(\frac{1}{3}\right)^4+\cdots\\ =& x^9+3x^8+4x^7+\frac{28}{9}x^6+\frac{14}{9}x^5+\cdots \end{align*}
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