前面我們已學過二項式定理：\[ (a+b)^n=\sum_{r=0}^n C^n_r a^{n-r}b^r\color{black}{。}\]
有時候也可以寫作：\[ (a+b)^n=\sum_{r=0}^n C^n_r a^{r}b^{n-r}\color{black}{。}\]
使用二項式定理時， 不一定要完全展開二項展式，有時候我們只要求記算個別係數。以下我們看看一些例子：
求\(\;(2+5x)^9\;\)的展式中\(\;x^2\;\)的係數。
根據二項式定理，\(\displaystyle{(2+5x)^9=\sum^{9}_{i=0}C^9_i 2^{9-i}(5x)^i}\)。
展式中\(\;x^2\;\)的係數是\(\;C^9_2 2^7 5^2=115200\)。
求\(\;(2+3x)^3(1-x)^9\;\)的展式中\(\;x\;\)的係數。
根據二項式定理， \begin{align*} & (2+3x)^3(1-x)^9\\ =& \left(\sum^{3}_{i=0} C^3_i 2^{3-i}(3x)^i \right) \left(\sum^{9}_{i=0}C^9_i (-x)^i\right)\\ =& (2^3+3\times 2^2\times 3x+...)(1-9x+...)。 \end{align*}
展式中\(\;x\;\)的係數是\(\;2^3\times (-9)+3\times 2^2=-60\)。
求\(\;\displaystyle{(\frac{1}{x}+x)^8}\;\)的展式中\(\;x^4\;\)的係數。
根據二項式定理， \begin{align*} & (\frac{1}{x}+x)^8\\ =& \sum^{8}_{i=0}C^8_i \left(\frac{1}{x}\right)^{8-i} x^i\\ =& \sum^{8}_{i=0}C^8_i {x}^{2i-8}。 \end{align*}
展式中\(\;x^4=x^{2\times 6-8}\;\)的係數是\(\;C^8_6=28\)。