解指數方程即求指數方程中未知數的值，一般可以分三種情況：
運用有理數指數定律，將方程通過等式轉化成 \(\displaystyle{ { {a}^{x}}={ {a}^{y}} }\) 的形式，使方程兩邊化為同一個底的指數；
將某個指數視為一個變量，解關於冪的和或差的指數方程；
運用對數求解。
原理：若 \(\displaystyle{ { {a}^{x}}={ {a}^{y}}(a\ne 0 }\) 且 \(\displaystyle{a\ne 1) }\)，則 \(\displaystyle{ x=y }\)。
利用有理數指數定律簡化方程，將指數方程轉化成 \(\displaystyle{ { {a}^{f\left( x \right)}}={ {b}^{g\left( x \right)}} }\) 的模式，其中，\(\displaystyle{f\left( x \right) }\) 和 \(\displaystyle{ g\left( x \right) }\) 均為 \(\displaystyle{ x }\) 的多項式，並利用有理數指數定律，將 \(\displaystyle{ b }\) 寫成 \(\displaystyle{ { {a}^{n}} }\) 的形式，得到 \(\displaystyle{ { {a}^{f\left( x \right)}}={ {\left( { {a}^{n}} \right)}^{g\left( x \right)}}={ {a}^{n\cdot g\left( x \right)}} }\)，這樣方程的兩邊轉化為同底的指數表達式。根據以上原理，除去指數部份，簡化為關於 \(\displaystyle{ x }\) 的多項式的方程 \(\displaystyle{f\left( x \right)=n\cdot g\left( x \right) }\)。由此，最終轉化為求解多項式方程。
在實際解題中，常常用到下列指數的值，如右表所示，需牢記並運用。
| \(\displaystyle{ 2 }\) 的指數 | \(\displaystyle{ 3 }\) 的指數 | \(\displaystyle{ 5 }\) 的指數 | \(\displaystyle{ 7 }\) 的指數 |
|---|---|---|---|
| \(\displaystyle{ { {2}^{0}}=1 }\) | \(\displaystyle{ { {3}^{0}}=1 }\) | \(\displaystyle{ { {5}^{0}}=1 }\) | \(\displaystyle{ { {7}^{0}}=1 }\) |
| \(\displaystyle{ { {2}^{1}}=2 }\) | \(\displaystyle{ { {3}^{1}}=3 }\) | \(\displaystyle{ { {5}^{1}}=5 }\) | \(\displaystyle{ { {7}^{1}}=7 }\) |
| \(\displaystyle{ { {2}^{2}}=4 }\) | \(\displaystyle{ { {3}^{2}}=9 }\) | \(\displaystyle{ { {5}^{2}}=25 }\) | \(\displaystyle{ { {7}^{2}}=49 }\) |
| \(\displaystyle{ { {2}^{3}}=8 }\) | \(\displaystyle{ { {3}^{3}}=27 }\) | \(\displaystyle{ { {5}^{3}}=125 }\) | \(\displaystyle{ { {7}^{3}}=343 }\) |
| \(\displaystyle{ { {2}^{4}}=16 }\) | \(\displaystyle{ { {3}^{4}}=81 }\) | \(\displaystyle{ { {5}^{4}}=625 }\) | |
| \(\displaystyle{ { {2}^{5}}=32 }\) | \(\displaystyle{ { {3}^{5}}=243 }\) | ||
| \(\displaystyle{ { {2}^{6}}=64 }\) | |||
| \(\displaystyle{ { {2}^{7}}=128 }\) |
例 \(1\)：求解方程 \(\displaystyle{ { {3}^{x-1}}={ {81}^{-x}} }\)
解：
\(\begin{align*} { {3}^{x-1}} &= { {81}^{-x}} \\ { {3}^{x-1}} &= { {\left( { {3}^{4}} \right)}^{-x}} \\ x-1 &= -4x \\ x &= \frac{1}{5} \end{align*}\)
例 \(2\)：求解方程 \(\displaystyle{3{ {x}^{-\frac{3}{5}}}=24 }\)
解：
\(\begin{align*} 3{ {x}^{-\frac{3}{5}}} &= 24 \\ { {x}^{-\frac{3}{5}}} &= 8={ {2}^{3}} \\ { {\left( { {x}^{-\frac{3}{5}}} \right)}^{-\frac{5}{3}}} &= { {\left( { {2}^{3}} \right)}^{-\frac{5}{3}}} \\ x &= { {2}^{-5}}=\frac{1}{32} \end{align*}\)
例 \(3\)：求解方程 \(\displaystyle{8{ {x}^{-3}}={ {\left( 8x \right)}^{3}} }\)
解：
\(\begin{align*} 8{ {x}^{-3}} &= { {\left( 8x \right)}^{3}} \\ { {\left( 2{ {x}^{-1}} \right)}^{3}} &= { {\left( 8x \right)}^{3}} \\ 2{ {x}^{-1}} &= 8x \\ x &= \pm \frac{1}{2} \end{align*}\)
例題：求解方程 \(\displaystyle{ { {3}^{x+1}}-6\cdot { {3}^{x-1}}+{ {3}^{x}}=18 }\)
\(\begin{align*} { {3}^{x+1}}-6\cdot { {3}^{x-1}}+{ {3}^{x}} & = 18 \end{align*}\)
\(\begin{align*} 3\cdot { {3}^{x}}-\frac{6}{3}\cdot { {3}^{x}}+{ {3}^{x}} & = 18 \end{align*}\)
\(\begin{align*} 2\cdot { {3}^{x}} &= 18 \\ x &= 2 \end{align*}\)
原理：若 \(\displaystyle{x=y\left( x,y \gt 0 \right) }\) ，則 \(\displaystyle{ { {\log }_{a}}x={ {\log }_{a}}y }\)( \(\displaystyle{ a \gt 0 }\) 且 \(\displaystyle{a\ne 1 }\))。
如果指數方程的兩邊難以化為同底的指數，那麼根據上述原理，對等式兩邊同時取對數來求解方程。
注意：因為對數的換底運算法則，將等式兩邊取對數，對數的底可以任意選取。
例題：求解方程 \(\displaystyle{ { {e}^{x}}={ {3}^{1-2x}} }\)
\(\begin{align*} { {e}^{x}} &= { {3}^{1-2x}} \\ \ln { {e}^{x}} &= \ln { {3}^{1-2x}} \end{align*}\)
\(\begin{align*} x &= \left( 1-2x \right)\ln 3 \\ x &= \frac{\ln 3}{1+2\ln 3} \end{align*}\)
解法 二：兩邊同時取常用對數
\(\begin{align*} { {e}^{x}} &= { {3}^{1-2x}} \\ \log { {e}^{x}} &= \log { {3}^{1-2x}} \end{align*}\)
\(\begin{align*} x\log e &= \left( 1-2x \right)log3 \\ x &= \frac{\log 3}{\log e+2\log 3} \end{align*}\)
由換底公式可知：
\(\begin{align*} \frac{\log 3}{\log e+2\log 3} &= \frac{\log 3}{\log 9e} \\
&= { {\log }_{9e}}3 \\
&= \frac{\ln 3}{\ln 9e} \\
&= \frac{\ln 3}{1+2\ln 3} \end{align*}\)