| \(\displaystyle{ a }\) 的範圍 | \(\displaystyle{ a \gt 1 }\) | \(\displaystyle{ 0 \lt a \lt 1 }\) |
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| 對數函數 \(\displaystyle{y={{\log }_{a}}x }\) 的圖像 |  |
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| 共同的特性 | 函數的定義域是所有大於零的實數，值域是所有實數。 | |
| 圖像位於 \(\displaystyle{ y }\) 軸右側，與 \(\displaystyle{ y }\) 軸永不相交。 | ||
| 圖像的 \(\displaystyle{ x }\) 軸截距為 \(\displaystyle{ 1 }\)，即圖像與 \(\displaystyle{ x }\) 軸相交於點 \(\displaystyle{\left( 1,0 \right) }\)。 | ||
| 圖像必過點 \(\displaystyle{\left( \frac{1}{a},-1 \right) }\)、\(\displaystyle{\left( 1,0 \right) }\)、\(\displaystyle{\left( a,1 \right) }\)。 | ||
| 圖像沒有極大值點和極小值點，沒有對稱軸，沒有週期性。 | ||
| 圖像有垂直漸近線：\(\displaystyle{ y }\) 軸 | ||
| 不同的特性 | 當 \(\displaystyle{x}\) 從 \(\displaystyle{1}\) 開始不斷減小接近 \(\displaystyle{0}\) 時，\(\displaystyle{y}\) 迅速變得非常小，函數圖像會愈來愈接近於負 \(\displaystyle{ y }\) 軸，但永遠不會與 \(\displaystyle{ y }\) 軸相交。 | 當 \(\displaystyle{x}\) 從 \(\displaystyle{1}\) 開始不斷減小接近 \(\displaystyle{0}\) 時，\(\displaystyle{y}\) 迅速變得非常大，函數圖像會愈來愈接近於正 \(\displaystyle{ y }\) 軸，但永遠不會與 \(\displaystyle{ y }\) 軸相交。 |
| 函數圖像從左向右逐漸上升，即當 \(\displaystyle{ x }\) 增加時，函數的值 \(\displaystyle{ y }\) 也增加，該函數是一個遞增的函數。 | 函數圖像從左向右逐漸下降，即當 \(\displaystyle{ x }\) 增加時，函數的值 \(\displaystyle{ y }\) 減少，該函數是一個遞減的函數。 | |
| 當 \(\displaystyle{ x }\) 增加時，函數的值 \(\displaystyle{ y }\) 增加的速度愈來愈慢，即 \(\displaystyle{ y }\) 的遞增率逐漸減少。 | 當 \(\displaystyle{ x }\) 增加時，函數的值 \(\displaystyle{ y }\) 減少的速度愈來愈慢，即 \(\displaystyle{ y }\) 的遞減率逐漸減少。 | |
當 \(\displaystyle{ a }\) 值越大時，圖像越平坦。 |
當 \(\displaystyle{ a }\) 值越大時，圖像越陡峭。 |
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如圖所示，四個對數函數的圖像，比較各底的大小，其中 \(\displaystyle{ a }\)， \(\displaystyle{ b }\)， \(\displaystyle{ c }\)， \(\displaystyle{ d }\) 均大於 \(\displaystyle{ 0}\)，且不等於 \(\displaystyle{ 1 }\)，以下哪項判斷是正確的？
解：選擇 (B)。
方法 1 ：由對數函數的圖像性質可知：底大於 \(\displaystyle{ 1 }\) 時，函數是一條遞增曲綫，且底越大，圖像越平坦，所以 \(\displaystyle{ b \gt a \gt 1 }\)； 底大於 \(\displaystyle{ 0 }\) 小於 \(\displaystyle{ 1 }\) 時，函數是一條遞減曲綫，且底越大，圖像越陡俏，所以 \(\displaystyle{ 0 \lt c \lt d \lt 1 }\)。
方法 2：對數函數 \(\displaystyle{y={{\log }_{p}}x }\) 與直接 \(\displaystyle{ y=1 }\) 相交於點 \(\displaystyle{\left( p,1 \right) }\)， 所以在 \(\displaystyle{x }\) 軸上方，圖像從左到右相應的底數由小變大，\(\displaystyle{ c \lt d \lt 1 \lt a \lt b }\)。
方法 3：對數函數 \(\displaystyle{y={{\log }_{p}}x }\) 與直接 \(\displaystyle{ y=-1 }\) 相交於點 \(\displaystyle{\left( \frac{1}{p},-1 \right) }\)， 所以在 \(\displaystyle{ x }\) 軸下方，圖像從左到右相應的底數由大變小，\(\displaystyle{ b \gt a \gt d \gt c }\)。
對數函數的底數與圖像間的關係可總結為：在 \(\displaystyle{ x }\) 軸上方 「底大圖遠」；在 \(\displaystyle{ x }\) 軸下方 「底大圖近」。
由反函數圖像的性質可知：原函數與其反函數關於直線 \(\displaystyle{ y=x }\) 對稱。
因此，對數函數 \(\displaystyle{ y={{\log }_{a}}x }\) 的圖像與指數函數 \(\displaystyle{ y=a^x }\) 的圖像關於直線 \(\displaystyle{ y=x }\) 對稱，其中 \(\displaystyle{ a \gt 0 }\) 且 \(\displaystyle{ a \ne 1 }\)，如模擬實驗所示。