與指數函數一樣，根據函數三類變換 (平移、反射、伸縮) 的原理，可將對數函數的一般形式 \(\displaystyle{f\left( x \right)={{\log }_{a}}x }\) ( \(\displaystyle{ a \gt 0 }\) 且 \(\displaystyle{ a \ne 1 }\))，轉換成其它的對數函數 \(\displaystyle{g\left( x \right)=p{{\log }_{a}}^{q\left( x+h \right)}+k }\) ( \(\displaystyle{ a \gt 0 }\) 且 \(\displaystyle{ a \ne 1 }\)，\(\displaystyle{ p \ne 0 }\)，\(\displaystyle{ q \ne 0 }\) )。
以 \(\displaystyle{ a = 2 }\) 為例，如模擬程式所示。
例如，當 \(\displaystyle{ p=1 }\)，\(\displaystyle{ q= 4 }\)，\(\displaystyle{ h=0 }\)，\(\displaystyle{ k=0 }\)， 對數函數 \(\displaystyle{g\left( x \right)={{\log }_{2}}4x }\) 可由對數函數 \(\displaystyle{f\left( x \right)={{\log }_{2}}x }\) 沿水平方向縮小 \(\displaystyle{ 4 }\) 倍得到， 或者視對數函數 \(\displaystyle{g\left( x \right)={{\log }_{2}}4x={{\log }_{2}}x+2 }\)，即將對數函數 \(\displaystyle{f\left( x \right)={{\log }_{2}}x }\) 向上平移 \(\displaystyle{ 2 }\) 個單位也可得到函數 \(\displaystyle{g\left( x \right)={{\log }_{2}}4x }\) 的圖像。
無論如何變換，對數函數圖像的形狀保持不變。
思考 \(1\)：函數 \(\displaystyle{g\left( x \right)={{\log }_{\frac{1}{a}}}x }\) 可由函數 \(\displaystyle{f\left( x \right)={{\log }_{a}}x }\) 沿 \(\displaystyle{ x }\) 軸反射得到。爲甚麽呢？
因為 \(\displaystyle{g\left( x \right)={{\log }_{\frac{1}{a}}}x=-{{\log }_{a}}x=-f\left( x \right) }\)，所以函數 \(\displaystyle{g\left( x \right)={{\log }_{\frac{1}{a}}}x }\) 的圖像與函數 \(\displaystyle{f\left( x \right)={{\log }_{a}}x }\) 的圖像形狀相似，並關於 \(\displaystyle{ x }\) 軸對稱。
當 \(\displaystyle{ a \gt 1 }\) 時，\(\displaystyle{ 0 \lt \frac{1}{a} \lt 1 }\)；當 \(\displaystyle{ 0 \lt a \lt 1 }\) 時，\(\displaystyle{ \frac{1}{a} \gt 1 }\)，所以經過 \(\displaystyle{ x }\) 軸反射後，得到的對數函數的圖像的走向和特徵發生巨大變化。
思考 \(2\)：以任意常數 \(\displaystyle{ a }\) ( \(\displaystyle{ a \gt 0 }\) 且 \(\displaystyle{ a \ne 1 }\) ) 為底的對數函數 \(\displaystyle{f\left( x \right)={{\log }_{a}}x }\)，都可以由常用對數函數 \(\displaystyle{g\left( x \right)=\log x }\) 或自然對數函數 \(\displaystyle{h\left( x \right)=\ln x }\) 經過沿鉛垂方向的伸縮變換得到。爲甚麽？
根據對數的換底公式，對對數函數 \(\displaystyle{f\left( x \right)={{\log }_{a}}x }\) 換底，可得： \[\displaystyle{f\left( x \right)={{\log }_{a}}x=\frac{\log x}{\log a}=\frac{\ln x}{\ln a} }\]