對數的定義基於指數，實際生活中常用來模擬增長或衰減過程的指數函數，也可相應的轉化為對數函數。
依舊以指數函數的數學實驗中提及的三個例子為例，請回答相應的問題。
以下哪項函數能表示子細胞的個數 \(\displaystyle{ x }\) 與母細胞分裂次數 \(\displaystyle{ y }\) 的關係？
每種放射性元素經過半衰期後，其濃度降低至初始時的一半。現用碳十四 (\(C14\)) 測年法來測量生物標本的死亡時間，已知碳十四 (\(C14\)) 的半衰期是 \(\displaystyle{ t }\) 年，現有一生物標本，測得它的碳十四 (\(C14\)) 的含量將大約為生前的 \(\displaystyle{ x }\) 倍，則它的死亡年期 \(\displaystyle{ y }\) 是多少？
某人向銀行存入一筆 \(\displaystyle{ 10 }\) 萬元存款，年利率為 \(\displaystyle{ 2\% }\)，利息的計算方式採用複利，新得到的利息同樣可以生息。該人計畫數年後從銀行取得 \(\displaystyle{ x }\) 萬元的本金加利息，則需要多長時間？
以上三個例子中的關係都屬於對數函數。
對數函數 (logarithmic function)：設 \(\displaystyle{ a \gt 0 }\) 且 \(\displaystyle{a\ne 1 }\)，則函數 \(\displaystyle{f\left( x \right)={{\log }_{a}}x }\) 稱為以 \(\displaystyle{ a }\) 為底的對數函數。
對數與指數的關係：若 \(\displaystyle{y={{a}^{x}} }\) ( \(\displaystyle{ a \gt 0 }\) 且 \(\displaystyle{a\ne 1 }\) )，則 \(\displaystyle{x={{\log }_{a}}y }\)。因此對數函數是指數函數的反函數，即若指數函數 \(\displaystyle{f\left( x \right)={{a}^{x}} }\)，則其反函數為對數函數 \(\displaystyle{{{f}^{-1}}\left( x \right)={{\log }_{a}}x }\)。
對數函數和指數函數互為反函數，所以兩個函數都是表示自變量與應變量之間一對一的關係，既能通過垂直線測試法，又能通過水平線測試法。
根據反函數的性質可知對數函數的定義域和值域，如圖所示。
當 \(\displaystyle{x \lt 0 }\) 時，\(\displaystyle{f\left( x \right)={{\log }_{a}}x }\) ( \(\displaystyle{ a \gt 0 }\) 且 \(\displaystyle{a\ne 1 }\)) 是不存在的。
