初中階段我們學過整數指數定律。
假定 \(\displaystyle{ a }\) 和 \(\displaystyle{ b }\) 是非零實數，且 \(\displaystyle{ m }\) 和 \(\displaystyle{ n }\) 是正整數，則有以下整數指數定律：
| 整數指數定律 \(\displaystyle{ 1 }\)： \(\displaystyle{{{a}^{m}}\times {{a}^{n}}={{a}^{m+n}} }\) | 整數指數定律 \(\displaystyle{ 2 }\)： \(\displaystyle{{{a}^{n}}\times {{b}^{n}}={{\left( ab \right)}^{n}} }\) |
| 整數指數定律 \(\displaystyle{ 3 }\)： \(\displaystyle{{{a}^{m}}\div {{a}^{n}}={{a}^{m-n}} }\) | 整數指數定律 \(\displaystyle{ 4 }\)： \(\displaystyle{{{a}^{n}}\div {{b}^{n}}={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{n}} }\) |
| 整數指數定律 \(\displaystyle{ 5 }\)： \(\displaystyle{{{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{mn}} }\) | 整數指數定律 \(\displaystyle{ 6 }\)： \(\displaystyle{{{a}^{0}}=1 }\) |
| 整數指數定律 \(\displaystyle{ 7 }\)： \(\displaystyle{{{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}} }\) |
若 \(\displaystyle{{{x}^{n}}=a }\)，其中 \(\displaystyle{ n }\) 是正整數，則稱 \(\displaystyle{ x }\) 是 \(\displaystyle{ a }\) 的 \(\displaystyle{ n }\) 次方根，用根號 \(\displaystyle{\sqrt[n]{{}} }\) 表示，即 \(\displaystyle{x=\sqrt[n]{a} }\)。
例如，\(\displaystyle{ {{x}^{4}}=a }\)，\(\displaystyle{ x }\) 是 \(\displaystyle{ a }\) 的 \(\displaystyle{ 4 }\) 次方根。
特例：當 \(\displaystyle{ n=2 }\) 或 \(\displaystyle{ n=3 }\) 時，一般不叫做二次方根和三次方根，而稱為平方根和立方根；平方根寫成 \(\displaystyle{\sqrt{{}} }\)，而不會寫成 \(\displaystyle{\sqrt[2]{{}} }\)。
考慮 \(\displaystyle{{{x}^{n}}=a }\) 在正整數 \(\displaystyle{ n }\) 為奇數和偶數的情況：
當 \(\displaystyle{ n }\) 為偶數：
若 \(\displaystyle{ a }\) 是正數，則 \(\displaystyle{ a }\) 有兩個 \(\displaystyle{ n }\) 次方根，一個是正數 \(\displaystyle{\sqrt[n]{a} }\)，一個是負數 \(\displaystyle{-\sqrt[n]{a} }\)；
若 \(\displaystyle{ a }\) 是負數，則 \(\displaystyle{ a }\) 在實數範圍內沒有 \(\displaystyle{ n }\) 次方根；
當 \(\displaystyle{ n }\) 為奇數：
無論 \(\displaystyle{ a }\) 是正數或負數，\(\displaystyle{ a }\) 都只有一個 \(\displaystyle{ n }\) 次方根 \(\displaystyle{\sqrt[n]{a} }\)。
\(\displaystyle{ n }\) 次方根的性質：
假定 \(\displaystyle{ n }\) 是正整數，\(\displaystyle{ a }\) 和 \(\displaystyle{ b}\) 是正數，則：
(1) \(\displaystyle{{{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{n}}=a }\) (2) \(\displaystyle{\sqrt[n]{{{a}^{n}}}=a }\) (3) \(\displaystyle{\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} }\)
\(\displaystyle{{{a}^{n}} }\) 的指數 \(\displaystyle{ n }\) 不一定要是正整數，可以是分數、零和負數，推廣至整個有理數，該指數稱為有理數指數。
任何有理數都可以轉化為分數 \(\displaystyle{\frac{p}{q} }\) 的形式，其中 \(\displaystyle{ p }\) 為整數，\(\displaystyle{ q }\) 為正整數；對任意正數 \(\displaystyle{ a }\) 的有理數指數的定義為：\(\displaystyle{{{a}^{\frac{p}{q}}}=\sqrt[q]{{{a}^{p}}}={{\left( \sqrt[q]{a} \right)}^{p}} }\)。
根據有理數指數的定義，當 \(\displaystyle{ p=1 }\) 時，\(\displaystyle{{{a}^{\frac{1}{q}}}=\sqrt[q]{a} }\)。
根據有理數指數的定義，整數指數定律可以推廣至有理數指數。
注意：有理數指數定律 \(\displaystyle{ 6 }\) 中底數 \(\displaystyle{ a }\) 可為負數，但不能為零，即 \(\displaystyle{{{a}^{0}}=1\left( a\ne 0 \right) }\)，除 \(\displaystyle{ 0 }\) 以外，任何數的 \(\displaystyle{ 0 }\) 次方都是 \(\displaystyle{ 1 }\)。
\(\displaystyle{{{0}^{0}} }\) 在數學上是不確定的，視情況而定，在某些領域為方便化簡公式而定義為 \(\displaystyle{1 }\)，在某些領域上是不定義的。因為 \(\displaystyle{{{0}^{0}}={{0}^{n}}\div {{0}^{n}}\left( n\ne 0 \right)=0\div 0 }\)，\(\displaystyle{ 0 }\) 除以 \(\displaystyle{ 0 }\) 是沒意義的， 因此 \(\displaystyle{ 0 }\) 的 \(\displaystyle{ 0 }\) 次方也無意義。
假定指數的底數 \(\displaystyle{a,b \gt 0 }\)，對於是任意的有理數 \(\displaystyle{ m }\) 和 \(\displaystyle{ n }\)，則有：
| 有理數指數定律 \(\displaystyle{ 1 }\)： \(\displaystyle{{{a}^{m}}\times {{a}^{n}}={{a}^{m+n}} }\) | 有理數指數定律 \(\displaystyle{ 2 }\)： \(\displaystyle{{{a}^{n}}\times {{b}^{n}}={{\left( ab \right)}^{n}} }\) |
| 有理數指數定律 \(\displaystyle{ 3 }\)： \(\displaystyle{{{a}^{m}}\div {{a}^{n}}={{a}^{m-n}} }\) | 有理數指數定律 \(\displaystyle{ 4 }\)： \(\displaystyle{{{a}^{n}}\div {{b}^{n}}={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{n}} }\) |
| 有理數指數定律 \(\displaystyle{ 5 }\)： \(\displaystyle{{{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{mn}} }\) | 有理數指數定律 \(\displaystyle{ 6 }\)： \(\displaystyle{{{a}^{0}}=1 }\) |
| 有理數指數定律 \(\displaystyle{ 7 }\)： \(\displaystyle{{{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}} }\) |
運用上述指數的運算法則，簡化下列含有指數的表達式。
| (1) \(\displaystyle{\frac{{{a}^{\frac{3}{2}}}}{{{b}^{3}}}\div \frac{{{a}^{-1}}}{{{b}^{2}}} }\) | (2) \(\displaystyle{{{\left( \frac{9{{v}^{2}}}{16{{w}^{4}}} \right)}^{-\frac{1}{2}}} }\) | (3) \(\displaystyle{\frac{6{{x}^{2}}}{\sqrt[3]{8{{x}^{-3}}{{y}^{6}}}} }\) | (4) \(\displaystyle{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} }\) |
\(\begin{align*}(1) \ \frac{{{a}^{\frac{3}{2}}}}{{{b}^{3}}}\div \frac{{{a}^{-1}}}{{{b}^{2}}} &= \frac{{{a}^{\frac{3}{2}-\left( -1 \right)}}}{{{b}^{3-2}}} \\ &= {{a}^{\frac{5}{2}}}{{b}^{-1}} \end{align*}\)
\(\begin{align*}(2) \ {{\left( \frac{9{{v}^{2}}}{16{{w}^{4}}} \right)}^{-\frac{1}{2}}} &= \frac{\frac{1}{3}{{v}^{-1}}}{\frac{1}{4}{{w}^{-2}}} \\ &= \frac{4}{3}{{w}^{2}}{{v}^{-1}} \end{align*}\)
\(\begin{align*}(3) \ \frac{6{{x}^{2}}}{\sqrt[3]{8{{x}^{-3}}{{y}^{6}}}} &= \frac{6{{x}^{2}}}{2{{x}^{-1}}{{y}^{2}}} \\ &= 3{{x}^{3}}{{y}^{-2}} \end{align*}\)
\(\begin{align*}(4) \ \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} &= \sqrt{x\sqrt{x\cdot {{x}^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{x\cdot {{x}^{\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}}}} \\ &= {{x}^{\frac{1}{2}\times \left( 1+\frac{3}{4} \right)}} \\ &= {{x}^{\frac{7}{8}}} \end{align*}\)