該模擬程式中，有四個函數的圖像，觀察其與某些垂直線和水平線的位置關係。
1. 觀察倒數函數 \(\displaystyle{y=\frac{1}{x} }\) 的圖像與 \(\displaystyle{ x }\) 軸和 \(\displaystyle{ y }\) 軸的位置關係，當函數向 \(\displaystyle{ x }\) 軸或 \(\displaystyle{ y }\) 軸不斷逼近時，它們是否相交？
2. 觀察正切函數 \(\displaystyle{y=\tan \left( x \right) }\) 的圖像與鉛垂線 \(\displaystyle{x=-\frac{\pi }{2} }\)，\(\displaystyle{x=\frac{\pi }{2} }\)，\(\displaystyle{x=\frac{3}{2}\pi }\) 的位置關係，當函數向鉛垂線 \(\displaystyle{x=-\frac{\pi }{2} }\)，\(\displaystyle{x=\frac{\pi }{2} }\)，\(\displaystyle{x=\frac{3}{2}\pi }\) 不斷逼近時，它們是否相交？
3. 觀察指數函數 \(\displaystyle{y={{e}^{x}} }\) 的圖像與 \(\displaystyle{ x }\) 軸的位置關係，當函數向 \(\displaystyle{ x }\) 軸不斷逼近時，它們是否相交？
4. 觀察對數函數 \(\displaystyle{y=\log x }\) 的圖像與 \(\displaystyle{ y }\) 軸的位置關係，當函數向 \(\displaystyle{ y }\) 軸不斷逼近時，它們是否相交？
當函數圖像上的點 \(\displaystyle{ A }\) 沿著函數的曲線無限遠離某一點或無限靠近某一點時，如果點 \(\displaystyle{ A }\) 到一條直線的距離無限趨近於零，但不等於零，那麼這條直線就被稱為這個函數的漸近線 (asymptote)。
平行於 \(\displaystyle{ x }\) 軸的漸近線 (即直線 \(\displaystyle{ y=k }\)，\(\displaystyle{ k }\) 為任意常數) 為水平漸近線 (horizontal asymptote)；平行於 \(\displaystyle{ y }\) 軸的漸近線 (即直線 \(\displaystyle{ x=h }\)，\(\displaystyle{ h }\) 為任意常數) 為垂直漸近線 (vertical asymptote)。
例如：在上述數學實驗展示的 \(\displaystyle{ 4 }\) 個函數，都有漸近線。
對於函數 \(\displaystyle{y=\frac{1}{x} }\)，定義域為 \(\displaystyle{\left\{ x:x\ne 0 \right\} }\)，即非零的實數。當 \(\displaystyle{ x }\) 無限靠近於原點時，圖像就趨近 \(\displaystyle{ y }\) 軸 (即 \(\displaystyle{ x=0 }\) )，但與 \(\displaystyle{ y }\) 軸不相交，即與 \(\displaystyle{ y }\) 軸的距離趨近於零，但不等於零；同理，當 \(\displaystyle{ x }\) 愈來愈大，無限遠離原點時，其圖像無限接近於 \(\displaystyle{ x }\) 軸 (即 \(\displaystyle{ y=0 }\))，但與 \(\displaystyle{ x }\) 軸不相交，即與 \(\displaystyle{ x }\) 軸的距離趨近於零，但不等於零。所以函數 \(\displaystyle{y=\frac{1}{x} }\) 的漸近線有兩條，分別為 \(\displaystyle{ x=0 }\) (\(\displaystyle{ y }\) 軸)和 \(\displaystyle{ y=0 }\) (\(\displaystyle{ x }\) 軸)。
例如：\(\displaystyle{x=-\frac{\pi }{2} }\)，\(\displaystyle{x=\frac{\pi }{2} }\)，\(\displaystyle{x=\frac{3}{2}\pi }\) 是函數 \(\displaystyle{ y=\tan \left( x \right) }\) 的垂直漸近線；\(\displaystyle{ y=0 }\) (\(\displaystyle{ x }\) 軸)是函數 \(\displaystyle{ y={{e}^{x}} }\) 的水平漸近線；\(\displaystyle{ x=0 }\) (\(\displaystyle{ y }\) 軸)是函數 \(\displaystyle{ y=\log x }\) 的垂直漸近線。
思考：函數 \(\displaystyle{y=\frac{x}{x+1} }\) 的圖像如右圖所示，該函數有哪幾條漸近線？
如右圖的實驗所示，函數 \(\displaystyle{ y=\frac{x}{x+1} }\) 的漸近線有兩條，在圖像中用虛線表示，分別是垂直漸近線 \(\displaystyle{ x=-1 }\) 和水平漸近線 \(\displaystyle{ y=1 }\)。事實上，\(\displaystyle{ y=\frac{x}{x+1} }\) 可以改寫成 \(\displaystyle{y=1-\frac{1}{x+1} }\)，對照函數 \(\displaystyle{y=\frac{1}{x} }\) 的圖像，可以推算出函數 \(\displaystyle{y=\frac{x}{x+1} }\) 的兩條漸近線，此問題將在之後的有理數函數中進一步詳細討論。