畫函數的粗略圖：根據以下 \(\displaystyle{ 10 }\) 個常見函數的表達式 \(\displaystyle{y=f\left( x \right) }\)，在函數的定義域內均勻地取若干個值 \(\displaystyle{{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\cdots {{x}_{n}} }\)，計算有序對 \(\displaystyle{\left( {{x}_{i}},f\left( {{x}_{i}} \right) \right) }\) 的值，將這些有序對對應的點標在直角坐標系中，如右面的模擬實驗所示。在一定的範圍內，取點的個數愈多，函數的圖像特征愈明顯。
(1) \(\displaystyle{ y=3 }\) ( \(\displaystyle{ x }\) 在 \(\displaystyle{\left[ -5,5 \right] }\) 內取值)
(2) \(\displaystyle{ y=2x+1 }\) ( \(\displaystyle{ x }\) 在 \(\displaystyle{ \left[ -5,5 \right] }\) 內取值)
(3) \(\displaystyle{y=\left| x \right| }\) ( \(\displaystyle{ x }\) 在 \(\displaystyle{ \left[ -10,10 \right] }\) 內取值)
(4) \(\displaystyle{y={{x}^{2}} }\) ( \(\displaystyle{ x }\) 在 \(\displaystyle{ \left[ -5,5 \right] }\) 內取值)
(5) \(\displaystyle{y=\frac{1}{x} }\) ( \(\displaystyle{ x }\) 在 \(\displaystyle{\left[ -5,0 \right)\bigcup \left( 0,5 \right] }\) 內取值)
(6) \(\displaystyle{y=\sin \left( x \right) }\) ( \(\displaystyle{ x }\) 在 \(\displaystyle{\left[ -2\pi ,2\pi \right] }\) 內取值)
(7) \(\displaystyle{y=\cos \left( x \right) }\) ( \(\displaystyle{ x }\) 在 \(\displaystyle{ \left[ -2\pi ,2\pi \right] }\) 內取值)
(8) \(\displaystyle{y=\tan \left( x \right) }\) ( \(\displaystyle{ x }\) 在 \(\displaystyle{\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)\bigcup \left( \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right) }\) 內取值)
(9) \(\displaystyle{y={{e}^{x}} }\) ( \(\displaystyle{ x }\) 在 \(\displaystyle{\left[ -3,3 \right] }\) 內取值)
(10) \(\displaystyle{y=\log x }\) ( \(\displaystyle{ x }\) 在 \(\displaystyle{\left[ 0.0001,32 \right] }\) 內取值)
提問：觀察函數圖像的特徵，在下表關於圖像特徵的選項中，為每個函數選擇正確的答案。
| 常見函數 | 圖 像 特 徵 | |
|---|---|---|
| 答 案 | 選 項 | |
| \(\displaystyle{ y=3 }\) |
A. 平行於 \(\displaystyle{ x }\) 軸的水平線 B. 被鉛垂線隔開且有規律重複出現的上升曲線 C. 有規律地重複出現在 \(\displaystyle{ y=-1 }\) 和 \(\displaystyle{ y=1 }\) 之間的波浪線，經過原點 \(\displaystyle{\left( 0,0 \right) }\) D. 有規律地重複出現在 \(\displaystyle{ y=-1 }\) 和 \(\displaystyle{ y=1 }\) 之間的波浪線，不經過原點 \(\displaystyle{\left( 0,0 \right) }\) E. 一條拋物線，沿 \(\displaystyle{ y }\) 軸對稱 F. 一條折線，沿 \(\displaystyle{ y }\) 軸對稱 G. 兩條不相交且形狀一樣的曲線 H. 一條傾斜的直線 I. 一條沿 \(\displaystyle{ y }\) 軸下端向 \(\displaystyle{ y }\) 軸上端不斷上升的曲線 J. 一條沿 \(\displaystyle{ x }\) 軸左端向 \(\displaystyle{ x }\) 軸右端不斷上升的曲線 |
|
| \(\displaystyle{ y=2x+1 }\) | ||
| \(\displaystyle{ y=\left| x \right| }\) | ||
| \(\displaystyle{y={{x}^{2}} }\) | ||
| \(\displaystyle{y=\frac{1}{x} }\) | ||
| \(\displaystyle{y=\sin \left( x \right) }\) | ||
| \(\displaystyle{y=\cos \left( x \right) }\) | ||
| \(\displaystyle{y=\tan \left( x \right) }\) | ||
| \(\displaystyle{y={{e}^{x}} }\) | ||
| \(\displaystyle{y=\log x }\) | ||
常見函數的圖像如圖所示：
常值函數 \(\displaystyle{ y=k }\) (\(\displaystyle{ k }\) 是常數) 的圖像是一條平行於 \(\displaystyle{ x }\) 軸的水平線；
線性函數 \(\displaystyle{ y=ax+b }\) (\(\displaystyle{ a }\)、\(\displaystyle{ b }\) 為常數，其中 \(\displaystyle{ a \ne 0 }\)) 的圖像是一條直線，經過點 \(\displaystyle{\left( 0,b \right) }\)；
絕對值函數 \(\displaystyle{y=\left| x \right| }\) 的圖像是一條位於 \(\displaystyle{ x }\) 軸的上方 (包含 \(\displaystyle{ x }\) 軸) 並沿 \(\displaystyle{ y }\) 軸對稱的折線；
二次函數 \(\displaystyle{y={{x}^{2}} }\) 的圖像是一條位於 \(\displaystyle{ x }\) 軸的上方 (包含 \(\displaystyle{ x }\) 軸) 並沿 \(\displaystyle{ y }\) 軸對稱的拋物線；
倒數函數 \(\displaystyle{y=\frac{1}{x} }\) 的圖像是兩條不相交且形狀一樣的曲線，與兩坐標軸都不相交；
正弦函數 \(\displaystyle{y=\sin \left( x \right) }\) 的圖像是在 \(\displaystyle{ y=-1 }\) 和 \(\displaystyle{ y=1 }\) 之間波動且有規律地重複出現的波浪曲線，經過原點；
餘弦函數 \(\displaystyle{y=\cos \left( x \right) }\) 的圖像是在 \(\displaystyle{ y=-1 }\) 和 \(\displaystyle{ y=1 }\) 之間波動且有規律地重複出現的波浪曲線，不經過原點；
正切函數 \(\displaystyle{y=\tan \left( x \right) }\) 的圖像是由一些被多條鉛垂線隔開且有規律地重複出現的上升曲線組成；
指數函數 \(\displaystyle{y={{e}^{x}} }\) 的圖像是一條沿 \(\displaystyle{ x }\) 軸左端向右端延伸且不斷上升的曲線，其與 \(\displaystyle{ x }\) 軸不相交；
對數函數 \(\displaystyle{y=\log x }\) 的圖像是一條沿 \(\displaystyle{ y }\) 軸下端向上端延伸且不斷上升的曲線，其與 \(\displaystyle{ y }\) 軸不相交。
| 函數 | 定義域 \(\displaystyle{ \left( x \right) }\) | 值域 \(\displaystyle{ \left( y \right) }\) | 極小值/極大值 | 對稱軸 | 最小正週期 |
|---|---|---|---|---|---|
| 常值函數 \(\displaystyle{ y=k }\) (\(\displaystyle{ k }\) 是常數) | \(\displaystyle{\left\{ x:x\in \mathbb{R} \right\} }\) | \(\displaystyle{ \left\{ y:y=k \right\} }\) |
極小值：\(\displaystyle{ k }\) 極大值：\(\displaystyle{ k }\) |
任意鉛垂線 | 無 |
|
線性函數 \(\displaystyle{ y=ax+b }\) (\(\displaystyle{ a }\)、\(\displaystyle{ b }\) 為常數，其中 \(\displaystyle{a\ne 0 }\) ) |
\(\displaystyle{\left\{ x:x\in \mathbb{R} \right\} }\) | \(\displaystyle{\left\{ y:y\in \mathbb{R} \right\} }\) | 無 | 無 | 無 |
| 絕對值函數 \(\displaystyle{y=\left| x \right| }\) | \(\displaystyle{\left\{ x:x\in \mathbb{R} \right\} }\) | \(\displaystyle{\left\{ y:y\ge 0 \right\} }\) |
極小值：\(\displaystyle{ 0 }\) 極大值：無 |
\(\displaystyle{ y }\) 軸 | 無 |
| 二次函數 \(\displaystyle{y={{x}^{2}} }\) | \(\displaystyle{\left\{ x:x\in \mathbb{R} \right\} }\) | \(\displaystyle{\left\{ y:y\ge 0 \right\} }\) |
極小值：\(\displaystyle{ 0 }\) 極大值：無 |
\(\displaystyle{ y }\) 軸 | 無 |
| 倒數函數 \(\displaystyle{y=\frac{1}{x} }\) | \(\displaystyle{\left\{ x:x\ne 0 \right\} }\) | \(\displaystyle{\left\{ y:y\ne 0 \right\} }\) | 無 | \(\displaystyle{ y=x }\) | 無 |
| 正弦函數 \(\displaystyle{y=\sin \left( x \right) }\) | \(\displaystyle{\left\{ x:x\in \mathbb{R} \right\} }\) | \(\displaystyle{\left\{ y:-1\le y\le 1 \right\} }\) |
極小值：\(\displaystyle{ -1 }\) 極大值：\(\displaystyle{ 1 }\) |
\(\displaystyle{x=\frac{\pi }{2}+k\cdot \pi }\) (\(\displaystyle{ k }\) 為任意整數) |
\(\displaystyle{2\pi }\) |
| 餘弦函數 \(\displaystyle{y=\cos \left( x \right) }\) | \(\displaystyle{\left\{ x:x\in \mathbb{R} \right\} }\) | \(\displaystyle{\left\{ y:-1\le y\le 1 \right\} }\) |
極小值：\(\displaystyle{ -1 }\) 極大值：\(\displaystyle{ 1 }\) |
\(\displaystyle{ x=k\cdot \pi }\) (\(\displaystyle{ k }\) 為任意整數) |
\(\displaystyle{2\pi }\) |
| 正切函數 \(\displaystyle{y=\tan \left( x \right) }\) | \(\displaystyle{ \{x:x\ne k\cdot \frac{\pi }{2} }\)，\(\displaystyle{ k }\) 為任意整數\(\displaystyle{ \} }\) | \(\displaystyle{\left\{ y:y\in \mathbb{R} \right\} }\) | 無 | 無 | \(\displaystyle{ \pi }\) |
| 指數函數 \(\displaystyle{y={{e}^{x}} }\) | \(\displaystyle{\left\{ x:x\in \mathbb{R} \right\} }\) | \(\displaystyle{ \left\{ y:y \gt 0 \right\} }\) | 無 | 無 | 無 |
| 對數函數 \(\displaystyle{y=\log x }\) | \(\displaystyle{\left\{ x:x \gt 0 \right\} }\) | \(\displaystyle{\left\{ y:y\in \mathbb{R} \right\} }\) | 無 | 無 | 無 |