直線 \(\displaystyle{ L }\) 外的一點 \(\displaystyle{ P }\) 到直線 \(\displaystyle{ L }\) 的距離定義為： 在直線 \(\displaystyle{ L }\) 上取一點 \(\displaystyle{ Q }\)，\(\displaystyle{ PQ }\) 的最小值即為點 \(\displaystyle{ P }\) 到直線 \(\displaystyle{ L }\) 的距離。
如圖所示，該距離即為 \(\displaystyle{ P }\) 點到直線 \(\displaystyle{ L }\) 的垂直線段的長度。
(提示：直角三角形中斜邊 (弦) 最長。)
在直角坐標平面上，任意兩點 \(\displaystyle{A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right) }\) 與 \(\displaystyle{B\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right) }\) 之間的距離為：\(\displaystyle{AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}} }\)
例\(1\)： 求點 \(\displaystyle{P\left( -2,4 \right) }\) 與 \(\displaystyle{Q\left( 3,-8 \right) }\) 之間的距離
解：\(\displaystyle{PQ=\sqrt{{{\left[ \left( -2 \right) - 3 \right]}^{2}}+{{\left[ 4-\left( -8 \right) \right]}^{2}}}=13 }\)
設 \(\displaystyle{A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right) }\) 與 \(\displaystyle{B\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right) }\) 為直角坐標平面上的任意兩點
中點公式：若點 \(\displaystyle{ M }\) 為 \(\displaystyle{ A }\) 點與 \(\displaystyle{ B }\) 點的中點，則 \(\displaystyle{ M }\) 點的坐標為 \(\displaystyle{\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2},\frac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2} \right) }\)
內分點公式：若點 \(\displaystyle{ P }\) 是 \(\displaystyle{ A }\) 點與 \(\displaystyle{ B }\) 點的內分點，且 \(\displaystyle{AP:PB=r:s }\) ，則 \(\displaystyle{ P }\) 點的坐標為 \(\displaystyle{\left( \frac{s{{x}_{1}}+r{{x}_{2}}}{r+s},\frac{s{{y}_{1}}+r{{y}_{2}}}{r+s} \right) }\)
例\(2\)： 已知點 \(\displaystyle{A\left( 2,5 \right) }\) 與 \(\displaystyle{B\left( -4,7 \right) }\) 兩點
(1) 求 \(\displaystyle{ A }\) 點與 \(\displaystyle{ B }\) 點的中點的坐標
(2) 若點 \(\displaystyle{ P }\) 以 \(\displaystyle{3:2 }\) 的比內分 \(\displaystyle{ A }\) 點與 \(\displaystyle{ B }\) 點，求 \(\displaystyle{ P }\) 點的坐標
解：
(1) \(\displaystyle{ A }\) 點與 \(\displaystyle{ B }\) 點的中點的坐標：\(\displaystyle{\left( \frac{2+\left( -4 \right)}{2},\frac{5+7}{2} \right) }\) ，即 \(\displaystyle{\left( -1,6 \right) }\) 。
(2) \(\displaystyle{ P }\) 點的坐標：\(\displaystyle{\left( \frac{2\times 2+3\times \left( -4 \right)}{3+2},\frac{2\times 5+3\times 7}{3+2} \right) }\) ，即 \(\displaystyle{\left( -\frac{8}{5},\frac{31}{5} \right) }\) 。
在直角坐標平面上，直線 \(\displaystyle{ L }\) 通過 \(\displaystyle{A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right) }\) 與 \(\displaystyle{B\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right) }\) 兩點，那麼直線 \(\displaystyle{ L }\) 的斜率為 \(\displaystyle{\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}} }\) 。
以一般式 \(\displaystyle{ax+by+c=0 }\) 表示的直線方程，其中 \(\displaystyle{b\ne 0 }\)，該直線的斜率為 \(\displaystyle{-\frac{a}{b} }\) 。
例\(3\)： (1) 已知直線 \(\displaystyle{ L }\) 通過點 \(\displaystyle{A\left( -6,2 \right) }\) 與 \(\displaystyle{B\left( 4,-8 \right) }\)，求直線 \(\displaystyle{ L }\) 的斜率。
(2) 求直線 \(\displaystyle{2x+3y-6=0 }\) 的斜率。
解：
(1) 直線 \(\displaystyle{ L }\) 的斜率為 \(\displaystyle{\frac{-8-2}{4-\left( -6 \right)}=-1 }\)
(2) 直線 \(\displaystyle{2x+3y-6=0 }\) 的斜率是 \(\displaystyle{-\frac{2}{3} }\)
點斜式：斜率為 \(\displaystyle{ m }\) ，且經過點 \(\displaystyle{A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right) }\) 的直線為 \(\displaystyle{y-{{y}_{1}}=m\left( x-{{x}_{1}} \right) }\)
兩點式：經過點 \(\displaystyle{A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right) }\) 與 \(\displaystyle{B\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right) }\) 兩點的直線為 \(\displaystyle{y-{{y}_{1}}=\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}\left( x-{{x}_{1}} \right) }\)
例\(4\)： 已知直線 \(\displaystyle{ L }\) 通過點 \(\displaystyle{A\left( -6,2 \right) }\) 與 \(\displaystyle{B\left( 4,-8 \right) }\)， 分別以點斜式和兩點式求直線 \(\displaystyle{ L }\) 的方程。
解：
(1) 點斜式：直線 \(\displaystyle{ L }\) 的斜率為 \(\displaystyle{\frac{-8-2}{4-\left( -6 \right)}=-1 }\)
則 \(\displaystyle{ L}\) 的方程為 \(\displaystyle{y-2=-1\times \left( x+6 \right) }\)，即 \(\displaystyle{y=-x-4 }\)
(2) 兩點式：直線 \(\displaystyle{ L }\) 的方程為 \(\displaystyle{y-2=\frac{-8-2}{4-\left( -6 \right)}\times \left( x+6 \right) }\)，即 \(\displaystyle{y=-x-4 }\)