假設直線 \(\displaystyle{ L }\) 和圓 \(\displaystyle{ C }\) 的方程分別為：
\(\displaystyle{ L }\)： \(\displaystyle{y=mx+b\ldots \ldots \ldots \left( 1 \right) }\)
\(\displaystyle{ C }\)： \(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Dx+Ey+F=0\ldots \ldots \ldots \left( 2 \right) }\)
那麼，求直線 \(\displaystyle{ L }\) 與圓 \(\displaystyle{ C }\) 的交點坐標，即求解上述聯立方程 \(\left( 1 \right) \) 和 \(\left( 2 \right) \) 的解 \(\displaystyle{x }\) 和 \(\displaystyle{ y }\)，即得到交點的 \(\displaystyle{x }\) 坐標和 \(\displaystyle{ y }\) 坐標。
求直線 \(\displaystyle{x+y=4 }\) 與圓 \(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=10 }\) 的交點坐標。
解：建立聯立方程：
\(\displaystyle{ \left\{ \begin{align} & x+y=4\ldots \ldots \ldots \ldots (1) \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=10\ldots \ldots \ldots (2) \\ \end{align} \right. }\)
將 (1) 轉化成 \(\displaystyle{ y=4-x }\)，代入 (2) 中，化簡得： \(\displaystyle{{{x}^{2}}-4x+3=0 }\)
解得：\(\displaystyle{x=1 }\) 或 \(\displaystyle{ x=3 }\)
代入 (1) 中，得 \(\displaystyle{ \left\{ \begin{align} & x=1 \\ & y=3 \\ \end{align} \right. }\) 或 \(\displaystyle{ \left\{ \begin{align} & x=3 \\ & y=1 \\ \end{align} \right. }\)
\(\displaystyle{ \therefore }\) 直線與圓的交點的坐標為 \(\displaystyle{\left( 1,3 \right) }\) 和 \(\displaystyle{\left( 3,1 \right) }\)。
已知直線 \(\displaystyle{2x-3y-k=0 }\) 與圓 \(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y=0 }\) 相切，求常數 \(\displaystyle{ k }\) 的值。
解：建立聯立方程：
\(\displaystyle{ \left\{ \begin{align} & 2x-3y-k=0\ldots \ldots \ldots \ldots (1) \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y=0\ldots \ldots (2) \\ \end{align} \right. }\)
將 (1) 轉化成 \(\displaystyle{ y=\frac{2x-k}{3} }\)，代入 (2) 中，化簡得：
\(\displaystyle{13{{x}^{2}}-4kx+\left( {{k}^{2}}-18k \right)=0 }\)
\(\displaystyle{ \because }\) 直線與該圓相切
\(\displaystyle{\therefore \Delta ={{\left( -4k \right)}^{2}}-4\times 13\times \left( {{k}^{2}}-18k \right)=0 }\)
化簡得： \(\displaystyle{k\left( k-26 \right)=0 }\)
\(\displaystyle{\therefore k=0 }\) 或 \(\displaystyle{ k=26 }\)
如右圖所示，\(\displaystyle{ k=0 }\) 或 \(\displaystyle{ k=26 }\) 時，直線與圓相切。
已知直線 \(\displaystyle{y=3x+1 }\) 與圓 \(\displaystyle{{{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=k }\) 相離，求常數 \(\displaystyle{k }\) 的取值範圍。
解：建立聯立方程：
\(\displaystyle{ \left\{ \begin{align} & y=3x+1\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots (1) \\ & {{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=k\ldots \ldots (2) \\ \end{align} \right. }\)
將 (1) 代入 (2) 中，化簡得：
\(\displaystyle{10{{x}^{2}}+40-k=0 \ \ldots \ldots \ldots \ldots (3) }\)
\(\displaystyle{ \because }\) 直線與圓相離
\(\displaystyle{ \therefore }\) 方程 (3) 的判別式 \(\displaystyle{\Delta =-4\times 10\times (40-k) \lt 0 }\)
\(\displaystyle{ \because }\) 常數 \(\displaystyle{k }\) 表示圓的半徑的平方數
\(\displaystyle{ \therefore k \gt 0 }\)
\(\displaystyle{ \therefore 0 \lt k \lt 40 }\) ( 結果如右圖所示 )