數學實驗： 右側的模擬程式展示了圓心為 \(\displaystyle{ C }\) ，經過點 \(\displaystyle{ P }\) 的圓與經過 \(\displaystyle{ A }\) 點和 \(\displaystyle{ B }\) 點的直線的相交情況。 任意移動 \(\displaystyle{ C }\) 點、\(\displaystyle{ P }\) 點，改變圓的位置和大小；任意移動 \(\displaystyle{ A }\) 點、\(\displaystyle{ B }\) 點，改變直線的位置， 觀察任意一條直線和任意一個圓的交點的數量情況，回答以下問題：
一條直線與一個圓的交點數量可能是：
|
\(0\) 個 |
\(1\) 個 |
\(2\) 個 |
\(3\) 個 |
\(3\) 個以上 |
一個圓與一條直線有三種位置關係，如下圖所示：
(1) 兩個交點
(2) 一個切點
(3) 沒有交點
設直線 \(\displaystyle{ L }\) 和圓 \(\displaystyle{ C }\) 的方程為：
\(\displaystyle{ L }\)： \(\displaystyle{y=mx+b\ldots \ldots \ldots \left( 1 \right) }\)
\(\displaystyle{ C }\)： \(\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Dx+Ey+F=0\ldots \ldots \ldots \left( 2 \right) }\)
解以上一對聯立方程，將 (1) 代入 (2) 中，可得：
\(\displaystyle{\left( 1+{{m}^{2}} \right){{x}^{2}}+\left( 2mb+D+Em \right)x+\left( {{b}^{2}}+Eb+F \right)=0\ldots \ldots \ldots \left( 3 \right) }\)
方程 (3) 是一個以 \(\displaystyle{ x }\) 為未知數的二次方程，根據其判別式 \(\displaystyle{\Delta }\) 判斷它的實數解的數目，從而對應於 \(\displaystyle{ L }\) 與 \(\displaystyle{ C }\) 的交點個數，因此：
若 \(\displaystyle{\Delta \gt 0 }\) 時，\(\displaystyle{ L }\) 與 \(\displaystyle{ C }\) 有兩個交點，即圓與直線相交於兩點；
若 \(\displaystyle{\Delta = 0 }\) 時，\(\displaystyle{ L }\) 與 \(\displaystyle{ C }\) 有一個交點，即圓與直線相切，直線 \(\displaystyle{ L }\) 是圓 \(\displaystyle{ C }\) 的切線；
若 \(\displaystyle{\Delta \lt 0 }\) 時，\(\displaystyle{ L }\) 與 \(\displaystyle{ C }\) 沒有交點，即圓與直線相離。
特例：若直線 \(\displaystyle{ L }\) 是一條鉛垂線，則其方程不可以用 \(\displaystyle{y=mx+b }\) 的形式，而要用 \(\displaystyle{ x=k }\) 的形式表示，其中 \(\displaystyle{ k }\) 是一個常數。
同理，根據 \(\displaystyle{ L }\) 與 \(\displaystyle{ C }\) 的表達式建立聯立，考慮一個以 \(\displaystyle{ y }\) 為變量的二次方程的判別式。
判斷圓 \(\displaystyle{{{\left( x+a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+3{{b}^{2}} }\) (其中 \(\displaystyle{a\ne 0 }\)，\(\displaystyle{b\ne 0 }\)) 在直角坐標系中與 \(\displaystyle{ x }\) 軸是否相交，若相交，交點數目是多少？
解：如右圖所示，改變 \(\displaystyle{ a }\) 與 \(\displaystyle{ b }\) 的值 ( 圖中只給出了有限的範圍內的情況 )，圓與 \(\displaystyle{ x }\) 軸始終相交於兩點。
以下展示計算推導：
\(\displaystyle{ x }\) 軸的方程： \(\displaystyle{ y=0 }\)
建立聯立方程：
\(\displaystyle{ \left\{ \begin{align} & y=0\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots (1) \\ & {{\left( x+a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+3{{b}^{2}}\ldots \ldots (2) \\ \end{align} \right. }\)
將 (1) 代入 (2) 中，化簡得：
\(\displaystyle{{{x}^{2}}+2ax-2{{b}^{2}}=0 \ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \left( 3 \right) }\)
方程式 (3) 的判別式： \(\displaystyle{\Delta =4{{a}^{2}}+8{{b}^{2}}>0 }\) ( \(\displaystyle{a\ne 0 }\)，\(\displaystyle{b\ne 0 }\) )
\(\displaystyle{\therefore }\) 該圓在直角坐標系中與 \(\displaystyle{ x }\) 軸相交於兩點。