小明的玩具車每次啟動時可行走\(\;20\;\)秒，而其\(\;t\;\)秒所行駛的距離（以米為單位）能以\(\;s(t)=\frac{3}{20}t^2-\frac{1}{200}t^3\;\)表示。求玩具車行駛\(\;4.32\;\)米所需的時間。
根據距離公式可得
\begin{align*} s(t)=\frac{3}{20}t^2-\frac{1}{200}t^3 &= 4.32 \\ 30t^2 - t^3 &= 864 \\ t^3 - 30t^2 + 864 &= 0 \end{align*}設\(\;f(t)=t^3 - 30t^2 + 864\)，研究\(\;864\;\)的因數，可發現
\begin{align*} f(6) = 6^3-30(6)^2+864 = 0 \end{align*} 所以\(\;t-6\;\)是\(\;f(t)\;\)的因式。因此， \begin{align*} t^3 - 30t^2 + 864 &= 0 \\ (t-6)(t^2-24t-144) &= 0 \\ t&=6 ~\hbox{或}~ t=\frac{24\pm\sqrt{1152}}{2} \\ t&=6 ~\hbox{或}~ t=12(1\pm\sqrt{2}) \end{align*}由於玩具車每次啟動只可行走\(\;20\;\)秒，而\(\;t=12(1\pm\sqrt{2})\;\)均在範圍之外，故捨去。所以，所需時間為\(\;6\;\)秒。
在附設的模擬模型中，藍色曲線顯示玩具車\(\;t\;\)秒的行駛距離\(\;s(t)\)，而綠色曲線顯示玩具車在\(\;t\;\)秒時的速度\(\;v(t)\)。
請輸入不同的\(\;t\;\)值，觀察玩具車在不同時間中行駛距離和速度的變化。
關於行駛距離和速度的關係，可從數學的角度和物理的角度去解釋。在此之前，我們需要先學習微分的概念。