第二節 集中趨勢量度
集中趨勢量度

集中趨勢表示一組數據的中間值。在初中時,我們學過算術平均數中位數眾數三種集中趨勢的量度:

不分組數據

若我們有一組共\(\;n\;\)項的數據\(\;\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\),它的算術平均數(在不會產生混淆的情況下,一般稱為平均數)定義如下:

數據組\(\;\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\;\)的算術平均數為 \[ \bar{x} = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \]

注意 若我們對數據組\(\;\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\;\)進行加權,各個數據的權分別為\(\;\{f_1,f_2,\cdots,f_n\}\),則可計算這組數據的加權平均數

若數據組\(\;\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\;\)中,各個數據的權分別為\(\;\{f_1,f_2,\cdots,f_n\}\),則這組數據的加權平均數為 \[ \hbox{加權平均數} = \frac{f_1x_1+f_2x_2+\cdots+f_nx_n}{n} \]

分組數據

對於分組的數據,它的(算術)平均數為各組中點以該組的頻數加權之加權平均數,即

對於分組數據\(\;S\),若\(\;x_i\;\)為第\(\;i\;\)組的組中點,而\(\;f_i\;\)為該組的頻數,則\(\;S\;\)的平均數為 \[ \bar{x} = \frac{f_1x_1+f_2x_2+\cdots+f_nx_n}{f_1+f_2+\cdots+f_n} \] 其中,\(n\;\)為組別的總數。
不分組數據

若我們有一組共\(\;n\;\)項的數據\(\;\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\),要找出它的中位數,我們應先將該組數據從小至大排列。若數據已排列好,則中位數就是數據組正中間的那數值(當\(\;n\;\)是奇數),或數據組正中間的兩個數據之平均值(當\(\;n\;\)是偶數)。

若數據組\(\;\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\;\)滿足條件 \[ x_1\leq x_2\leq \cdots \leq x_n \] 則它的中位數是 \[ \hbox{中位數} = \begin{cases} x_{\frac{n+1}{2}} &, n \hbox{ 是奇數} \\ \frac{1}{2}(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n+1}{2}}) &, n \hbox{ 是偶數} \end{cases}\]

分組數據

對於分組的數據,它的中位數可用它的累積頻數多邊形(或累積分數曲線)找出:

一組分組數據的中位數是其累積頻數多邊形(或累積分數曲線)的第\(\;\frac{n}{2}\;\)項數據。

注意

  1. 若數據總數為奇數,雖然沒有第\(\;\frac{n}{2}\;\)項數據,但該組數據的中位數依然是\(\;y=\frac{n}{2}\;\)的對應值。例如,若\(\;n=25\),則該組數據的中位數就是在它的累積頻數多邊形中,\(y=12.5\;\)所對應的\(\;x\;\)值。
  2. 從圖像讀出的中位數只是近似值,而非準確值。
不分組數據

若我們有一組共\(\;n\;\)項的數據\(\;\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\),它的眾數就是出現頻數最高的數據。

數據組\(\;\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\;\)的眾數為該組中出現頻數最高的數據。

注意 一組數據可以有多於一個眾數。

分組數據

對於分組的數據,它的眾數組(也可稱為眾數)就是出現頻數最高的組。

分組數據的眾數組就是出現頻數最高的組。

注意 跟不分組數據的情況一樣,分組數據也可以有多於一個眾數組。

練習 - 產品銷量的集中趨勢

以下為某公司的兩款產品在一星期內的銷量:

試完成下表。

產品甲 產品乙
平均數
中位數
眾數

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