集中趨勢表示一組數據的中間值。在初中時,我們學過算術平均數、中位數和眾數三種集中趨勢的量度:
若我們有一組共\(\;n\;\)項的數據\(\;\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\),它的算術平均數(在不會產生混淆的情況下,一般稱為平均數)定義如下:
數據組\(\;\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\;\)的算術平均數為 \[ \bar{x} = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \]
注意 若我們對數據組\(\;\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\;\)進行加權,各個數據的權分別為\(\;\{f_1,f_2,\cdots,f_n\}\),則可計算這組數據的加權平均數:
若數據組\(\;\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\;\)中,各個數據的權分別為\(\;\{f_1,f_2,\cdots,f_n\}\),則這組數據的加權平均數為 \[ \hbox{加權平均數} = \frac{f_1x_1+f_2x_2+\cdots+f_nx_n}{n} \]
對於分組的數據,它的(算術)平均數為各組中點以該組的頻數加權之加權平均數,即
若我們有一組共\(\;n\;\)項的數據\(\;\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\),要找出它的中位數,我們應先將該組數據從小至大排列。若數據已排列好,則中位數就是數據組正中間的那數值(當\(\;n\;\)是奇數),或數據組正中間的兩個數據之平均值(當\(\;n\;\)是偶數)。
若數據組\(\;\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\;\)滿足條件 \[ x_1\leq x_2\leq \cdots \leq x_n \] 則它的中位數是 \[ \hbox{中位數} = \begin{cases} x_{\frac{n+1}{2}} &, n \hbox{ 是奇數} \\ \frac{1}{2}(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n+1}{2}}) &, n \hbox{ 是偶數} \end{cases}\]
對於分組的數據,它的中位數可用它的累積頻數多邊形(或累積分數曲線)找出:
一組分組數據的中位數是其累積頻數多邊形(或累積分數曲線)的第\(\;\frac{n}{2}\;\)項數據。
注意
以下為某公司的兩款產品在一星期內的銷量:
試完成下表。
產品甲 | 產品乙 | |
---|---|---|
平均數 | ||
中位數 | ||
眾數 |