在我們討論複數的除法前，讓我們首先認識 共軛複數 (complex conjugate) 的定義。
設複數 \(z = a + bi\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 為實數，則 \(z\) 的 共軛複數 (寫為 \(\bar{z}\)) 的定義是
\[\bar{z} = \overline{a + bi} = a - bi \,。\]
複數和它的共軛複數的積是一個非負實數。即，設複數 \(z = a + bi\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 為實數，則
\[z \bar{z} = a^2 + b^2\, 。\]備註：
實數 \(a\) 可寫為 \(a = a + 0i\)，所以 \(a\) 的共軛複數是
\(\bar{a} = \overline{a + 0i} = a - 0i = a。\)
所以， 實數的共軛複數是其實數本身。
已知 \(z = a + ib\) 及 \(\bar{z} = a - bi\)。則
\(\begin{align*} z \bar{z} &= (a + bi)(a - bi) \\ &= a^2 - abi + abi - (ib)^2 \\ &= a^2 - b^2i^2 \\ &= a^2 + b^2 \\ \therefore \quad z \bar{z} &= a^2 + b^2。\end{align*}\)
設 \(z = 2 - 3i\) 及 \(w = 5 + 2i\)，試簡化
已知\(\;z = 2 - 3i\)， \(\bar{z} = 2 + 3i\)
及\(w = 5 + 2i， \bar{w} = 5 - 2i\)。
1. |
\(z + w \) |
\( = (2 - 3i) + (5 + 2i) = 7 - i\) |
\(\overline{z + w}\) |
\( = 7 + i\) |
|
2. |
\(z + \bar{z}\) |
\( = (2 - 3i) + (2 + 3i) = 4\) |
3. |
\(w \bar{w}\) |
\( = (5 + 2i)(5 - 2i) = 5^2 + 2^2 = 29\) |
4. |
\(\displaystyle{\frac{1}{w}}\) |
\( = \displaystyle{\frac{1}{5 + 2i}}\) |
| 數式的分母必定以實數來表達。我們必須以 \(w\) 的共軛複數，即 \(\bar{w} = 5 - 2i\)，乘數式的分子和分母： |
\(\displaystyle{\frac{1}{w}}\) |
\( = \displaystyle{\frac{1}{5 + 2i}} \dot \displaystyle{\frac{5 - 2i}{5 - 2i}}\) |
\(= \displaystyle{\frac{5 - 2i}{29}}\) |
|
| \(= \displaystyle{\frac{5}{29}} - \displaystyle{\frac{2}{29}}i\) |
特例： 計算 \(\displaystyle{\frac{1}{i}}\) 的方法。
\(\displaystyle{\frac{1}{i}}\) |
\( = \displaystyle{\frac{1}{i}} \dot \displaystyle{\frac{i}{i}}\) |
|
(請留意，不是分子和分母均乘以 \(i\) 的共軛複數，即 \(\bar{i} = -i\)) |
\(= \displaystyle{\frac{i}{i^2}}\) |
|
\(= -i\) |
|
\(\therefore\)\(\displaystyle{\frac{1}{i}}\) |
\( = -i\) |