若 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是二次方程 \(2x^2 + 9x - 3 = 0\) 的根，建立一個以 \(x\) 為變數，並以 \(2\alpha + 1\) 和 \(2\beta + 1\) 為根的二次方程。
由於 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是二次方程 \(2x^2 + 9x - 3 = 0\) 的根，從韋達定理，
\(\begin{align*}\alpha + \beta &= -\displaystyle{\frac{9}{2}} \\ \alpha \beta &= -\displaystyle{\frac{3}{2}}\end{align*}\)
對於所求的二次方程，
兩根的和 \(= (2\alpha + 1) + (2\beta + 1)\)
\(= 2(\)\(\alpha + \beta\)\() + 2\)
\(= 2(-\displaystyle{\frac{9}{2}}) + 2\)
\(= -7\)
兩根的積 \(= (2\alpha + 1) (2\beta + 1)\)
\(= 4\alpha \beta + 2\alpha + 2\beta + 1\)
\(= 4\)\(\alpha \beta\) \(+ 2(\)\(\alpha + \beta\)\() + 1\)
\(= 4(-\displaystyle{\frac{3}{2}}) + 2(-\displaystyle{\frac{9}{2}}) + 1\)
\(= -14\)
\(\because \;\; x^2 - (\)兩根的和\()x + (\)兩根的積\() = 0\)。
\(\therefore \;\;\)所求的二次方程是
\(\begin{align*} x^2 - (-7)x + (-14) &= 0 \\ x^2 + 7x - 14 &= 0 \end{align*}\)
建立一個以 \(x\) 的二次方程，而該方程的根是 \(3x^2 + 7x + 1 = 0\) 的根的平方。
由於 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是二次方程 \(3x^2 + 7x + 1 = 0\) 的根，從韋達定理，
\(\begin{align*} \alpha + \beta &= -\displaystyle{\frac{7}{3}} \\ \alpha \beta &= \displaystyle{\frac{1}{3}}\end{align*}\)
對於所求的二次方程，
兩根的和 \(= \alpha^2 + \beta^2\) \(= (\alpha^2\) \(+ 2\alpha \beta\)\(+ \beta^2)\) \( - 2\alpha \beta\)
\(= (\alpha + \beta)^2 - 2\)\(\alpha \beta\)
\(= (-\displaystyle{\frac{7}{3}})^2 - 2(\displaystyle{\frac{1}{3}})\)
\(= \displaystyle{\frac{43}{9}}\)
兩根的積 \(= \alpha^2 \cdot \beta^2\)
\(= (\)\(\alpha \beta\)\()^2\)
\(= (\displaystyle{\frac{1}{3}})^2\)
\(= \displaystyle{\frac{1}{9}}\)
\(\because \;\; x^2 - (\)兩根的和\()x + (\)兩根的積\() = 0\)。
\(\therefore \;\;\)所求的二次方程是
\(\begin{align*} x^2 - (\displaystyle{\frac{43}{9}})x + \displaystyle{\frac{1}{9}} &= 0 \\ 9x^2 - 43x + 1 &= 0 \end{align*}\)